[論文レビュー] Twisted cscK metrics and Kähler slope stability

Jacopo Stoppa|ArXiv.org|Apr 2, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般のケーラー多様体と有効除算子に対して、ロス＝トーマスのスロープ安定性を一般化し、ケーラークラスに一般化されたコhomological障害を導入し、ねじれ定数スカラー曲率ケーラー（cscK）方程式の解法に対する障害を提示する。ねじれ項が消えるとき、障害はスロープ安定性に還元され、非射影的でスロープ不安定な多様体の新しい例が得られ、アディアバティッククラスにおける一般型3次元多様体にはcscK計量が存在しないことを示唆する。

ABSTRACT

We introduce a cohomological obstruction to solving the constant scalar curvature Kähler (cscK) equation twisted by a semipositive form, appearing in works of Fine and Song-Tian. Geometrically this gives an obstruction for a manifold to be the base of a holomorphic submersion carrying a cscK metric in certain ``adiabatic'' classes. In turn this produces many new examples of general type threefolds with classes which do not admit a cscK representative. When the twist vanishes our obstruction extends the slope stability of Ross-Thomas to effective divisors on a Kähler manifold. Thus we find examples of non-projective slope unstable manifolds.

研究の動機と目的

• 極小射影的多様体から一般のケーラー多様体と有効除算子へのロス＝トーマスのスロープ安定性障害を拡張すること。
• cscKの場合を一般化し、ねじれcscK計量の存在に対するコhomological障害を確立すること。
• 特異的極限におけるホロモーフィック被覆への応用を通じて、cscK計量を持たない一般型3次元多様体の新しい例を生み出すこと。
• 自然なケーラークラスにおいてcscK計量を持たないが、スロープ不安定な非射影的ケーラー多様体を構成すること。

提案手法

• ねじれcscK方程式 $ S(\omega) - \Lambda_\omega \alpha = \widehat{S}_\alpha $ を導入し、ここで $ \alpha $ は半正定の (1,1)-形式である。
• 有効除算子 $ D $ に対して、Kählerクラス $ \Omega $ に対する正性を測るSeshadri定数 $ \epsilon(D, \Omega) $ を定義する。
• Chen-TianによるKエネルギーの下界を用いて、ねじれcscK方程式の解の存在に対する必要条件を導出する。
• ホロモーフィック被覆におけるアディアバティッククラス $ \Omega_r = c_1(L) + r\pi^*\Omega_B $ に障害を適用し、基底上のねじれcscK計量の解と関連付ける。
• ヴォジンの非射影的ケーラー多様体上での射影バンドルを用い、Mumfordによるベクトルバンドルの不安定化を用いて非射影的例を構成する。
• Deformation theory（Demailly-Eckl-Peternell）を適用し、得られた多様体が射影的変形を持たないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cscK計量のスロープ安定性障害は、極小射影的多様体を超えて、任意のケーラー多様体と有効除算子に対して一般化可能か？
• RQ2 与えられたケーラークラスにおいて、ねじれcscK方程式が解をもつためには、どのようなコhomological条件を満たす必要があるか？
• RQ3 ホロモーフィック被覆におけるアディアバティック極限は、全空間におけるcscK計量の存在に障害をもたらすか？ もしそうなら、その数値的条件は何か？
• RQ4 自然なケーラークラスにおいてcscK計量を持たず、スロープ不安定な非射影的ケーラー多様体を構成可能か？
• RQ5 アディアバティッククラスにおいてcscK計量を持たない一般型3次元多様体は存在するか？ そして、そのような存在を妨げる数値的不変量は何か？

主な発見

• 本稿は、ねじれcscK方程式の解法に対するコhomological障害を確立し、ねじれ項が消えるとスロープ安定性に還元されることを示した。
• アディアバティッククラス $ \Omega_r = a c_1(K_{Z|S''}) + r\pi^*\Omega_s $ における一般型3次元多様体では、$ a > 0 $、$ s \ll 1 $、$ r \gg 0 $ のとき、cscK計量は存在しない。
• 構成により、非射影的ケーラー多様体が得られ、スロープ不安定であり、クラス $ \mathcal{O}_{\mathbb{P}}(1) + r\pi^*\Omega_M $ において $ r \gg 0 $ のときcscK計量を持たない。
• 得られた多様体 $ X = \mathbb{P}(\mathcal{O}_M(-E_q) \oplus \mathcal{O}_M) $ は、射影バンドルの変形理論により、射影的変形を持たないことが示された。
• 障害は、$ r $ が大きいときのSeshadri定数 $ \epsilon(\mathbb{P}(F), \Omega_r) = 1 $ に起因し、これはMumfordによるバンドルの不安定化に関連している。
• 本手法により、ロス＝トーマスの予想が、ケーラー多様体上の一般ケーラークラスへのスロープ安定性の拡張によって確認された。