[論文レビュー] Twisted geometric Satake equivalence via gerbes on the factorizable grassmannian

Ryan Reich|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、対称的因子的gerbeを用いて、古典的幾何的Satake同値およびFinkelberg–Lysenkoによるねじれたバージョンの一般化として、ねじれた因子的可解な幾何的Satake同値を確立する。この同値は、重み格子上の二次形式から構成される双対群の表現を、gerbeによってねじれた perverse sheaf がカテゴリカルに実現することを示し、gerbeとt-構造に基づく統一的枠組みによって、因子的およびねじれた設定を統合する。

ABSTRACT

We prove a generalization of the twisted geometric Satake equivalence of Finkelberg--Lysenko in the context of the factorizable grassmannian of a reductive group G relative to a smooth curve X, similar to Gaitsgory's generalization in "On de Jong's conjecture" of the Satake equivalence itself. In order to express the dependence of this result on factorizability, we consider a certain 2-category of gerbes on this grassmannian, which we call "sf gerbes"; the theorem then concerns perverse sheaves twisted by such gerbes. This notion of twisting differs from, but in special cases is equivalent to, that considered by Finkelberg--Lysenko. We give a classification of these gerbes in terms of quadratic forms on the coweight lattice of G and gerbes on X. In addition, we introduce the technical device of universal local acyclicity (ULA) into the proof of the Satake equivalence, using it in combination with Beilinson's nearby cycles gluing of perverse sheaves to reduce all of the main constructions in the Mirkovic--Vilonen proof of the equivalence to the ULA case, where they have simple descriptions whose properties have simple proofs. We also give a geometric proof that the category of spherical perverse sheaves on the ordinary affine grassmannian is semisimple.

研究の動機と目的

• 幾何的Satake同値、因子的Satake同値（Gaitsgory）およびねじれたSatake同値（Finkelberg–Lysenko）を一つの枠組みに統合すること。
• 根の単位根によるねじれの概念をgerbe、特にBeilinson–Drinfeldのグラスマンニアン上の対称的因子的gerbeに一般化すること。
• アフィングラスマンニアン上のねじれた perverse sheaf の圏が、重み格子上の二次形式から構成される双対群の表現の圏に同値であることを示すこと。
• Mirković–Vilonenの手法と整合する形式的枠組みを用いて、ねじれたSatake圏のテンソル圏構造に対する新しい証明を提供すること。
• これらのねじれたSatake同値と量子Langlands対応との間の関係を、双対群上のgerbeの双対性を通じて確立すること。

提案手法

• 再帰的群Gの重み格子上の二次形式によってパrameter化される、単位根によるねじれの一般化として、対称的因子的gerbeを導入する。
• gerbeを用いてBeilinson–Drinfeldのグラスマンニアン上にねじれた導来圏およびねじれたt-構造を定義し、 perverse sheaf理論に必要な性質を保つ。
• gerbe上の等変ねじれた対象および乗法的構造の形式的枠組みを用いて、畳み込みおよび融合操作との整合性を保証する。
• 絶対的グラスマンニアン上でねじれたファイバー関手を構成し、畳み込みおよびd´evissage技法を用いてねじれたSatake圏の半単純性を証明する。
• Tannakian双対性を適用して、与えられた二次形式に対応する双対群を特定し、それが形式が自明である場合にLanglands双対LGと同型であることを示す。
• GおよびLG上のgerbeの間に非退化な双線形形式を用いて双対性を確立し、双対gerbeに対応するねじれたSatake圏の同値性を導出し、局所的量子Langlands対応を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的Satake同値は、因子的および任意のgerbeねじれを含めるようにどのように一般化できるか？
• RQ2 ねじれたSatake同値を保ちつつテンソル圏構造を維持するためのgerbeの正確なクラスは何か？
• RQ3 グラスマンニアン上の対称的因子的gerbeは、Gの重み格子上の二次形式とどのように関係するか？
• RQ4 古典的およびFinkelberg–Lysenkoのケースを含む一様な枠組みを用いて、ねじれたSatake同値を回復および一般化できるか？
• RQ5 GおよびそのLanglands双対LGのgerbeねじれSatake圏の間の関係は何か？そしてこれは量子Langlands対応とどのように関係するか？

主な発見

• Beilinson–Drinfeldのグラスマンニアン上のG-ねじれた球的 perverse sheafの圏は、Gの重み格子上の二次形式Qから構成される再帰的群ˇGQの表現の圏に同値である。
• 二次形式Qに対応する双対群ˇGQは、Q(λ) = (−1)^⟨2ρ,λ⟩ である場合に限り、Langlands双対LGと同型である。これはBeilinson–Drinfeld設定における臨界ねじれに対応する。
• 二次形式Q(λ) = (−1)^⟨2ρ,λ⟩ に対応するgerbeは、gerbeとして自明であるが、対称的因子的gerbeとして非自明であり、[BD]で用いられる臨界ねじれに対応する。
• 非退化なC-値W-不変双線形形式bに対し、Q(λ) = exp(πi b(λ,λ)) に対応する双対群ˇGQは、同じ形式を用いたLGのLanglands双対と同型である。これはGおよびLG上のgerbeの間に双対性を確立する。
• 双対gerbeに対応するねじれたSatake圏Sph(Gn)およびSph(LGn)は同値であり、局所的量子Langlands対応を実現する。
• 証明により、ねじれたSatake圏が半単純であり、単純対象がˇGQの既約表現に対応することが示され、畳み込みがテンソル構造を保存することが保証される。