[論文レビュー] Two new versions of Heron's Formula

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2017

History and Theory of Mathematics参考文献 13被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、線形代数とヤコビ座標を用いて、三角形の面積を質量加重された辺と中線の言語で再表現することにより、ヘロンの公式の2つの新しい形式—「ヘロン・ヤコビ」と「ヘロン・ホップ」—を導入する。この手法により、ヘロン写像が辺から中線への対合写像と可換であることが示され、両公式が統合され、この写像の対角化によりホップ bundle が回復され、三角形の形状空間が球面であるというケンデールの定理が証明される。

ABSTRACT

Recollect that Heron's formula for the area of a triangle given its sides has a counterpart given the medians instead, which carries an extra factor of $\frac{4}{3}$. On the one hand, we formulate the pair of these in Linear Algebra terms, showing that they are related by a sides-to-medians involution $J$, which we find to furthermore commute with the `Heron map' $H$ as visible in the expanded version of Heron. Upon further casting the pair of these in terms of mass-weighted Jacobi coordinates, we find moreover that they are placed on an exactly equal footing, the factor of $\frac{4}{3}$ having now cancelled out. This motivates the `Heron--Jacobi' version of Heron's formulae, for mass-weighted area in terms of mass-weighted sides and mass-weighted medians respectively. On the other hand, we show that diagonalizing the Heron map $H$ provides new derivations of, firstly, the famous Hopf map, and, secondly, of Kendall's Theorem that the space of triangles is a sphere. This occurs by the `Heron--Hopf' version of Heron's formula simplifying down to none other than the on-sphere condition. Thus we establish that -- both an important fibre bundle model, and a foundational theorem of Shape Theory: a widely applicable Differential Geometry and Topology topic -- arise together as consequences of just Heron's formula, Stewart's Theorem, and some elementary Linear Algebra manipulations. This working also accounts for the extra factor of 4 in the Hopf coordinate that is elsewise equal to the mass-weighted area in the 3-body problem context. It finally offers a new interpretation of the shape-theoretic ellipticity and anisoscelesness which realize the other two Hopf quantities: as eigenvectors shared by the Heron map $H$ and the sides-to-medians involution $J$.

研究の動機と目的

• 質量加重ヤコビ座標を用いてヘロンの公式を再形式化し、辺と中線を同等に扱えるようにする。
• ヘロン写像と辺から中線への対合写像の間の可換関係を確立し、従来の形式における $\frac{4}{3}$ の不一致を解消する。
• ヘロン写像の対角化がホップ写像を回復し、形状球面上でのケンデールの定理の新しい導出を可能にする。
• 形状理論における楕円度と非二等辺性を、ヘロン写像の固有ベクトルとして解釈し、それらをホップ座標と関連付ける。
• これらの知見を平面上の $N$-点配置の一般化された形状空間へと拡張し、より広範な幾何学的・位相的枠組みを提示する。

提案手法

• ヘロン行列 $\underline{\underline{H}}$ を用いて、辺の長さの言語で面積を表現するヘロンの公式を再形式化する。
• スチュアートの定理を用いて、辺から中線への対合写像 $\underline{\underline{J}}$ を導入し、$\underline{\underline{H}}$ と可換であることを示す。
• 質量加重ヤコビ座標を用いて、辺および中線の表現を同等の幾何的形に変換する。
• ヘロン・ヤコビの公式を導出し、$\frac{4}{3}$ 要素が相殺され、辺と中線が同等に扱われるようにする。
• ヘロン行列 $\underline{\underline{H}}$ を対角化し、ホップ写像と球面上の条件を回復する。
• 得られたホップ座標を用いて、形状理論的量である面積、楕円度、非二等辺性を、形状球面上のデカルト座標軸として解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘロンの公式は、質量加重ヤコビ座標を用いてどのように再形式化され、辺と中線を対称的に扱えるか？
• RQ2 ヘロン写像と辺から中線への対合写像の間の可換性の代数的・幾何学的意義は何か？
• RQ3 線形代数を用いて、ヘロンの公式から直接的にホップ bundle と形状球面上のケンデールの定理を導出可能か？
• RQ4 ヘロン写像の固有ベクトルとして解釈された楕円度と非二等辺性は、形状球面上で果たす役割は何か？
• RQ5 ヘロン・ホップおよびヘロン・ケンデール・ホップの形式は、平面上の $N$-点配置へと一般化可能か？

主な発見

• ヘロン・ヤコビの公式により、質量加重された辺と中線を用いた面積表現が統合され、座標変換によって $\frac{4}{3}$ の不一致が解消される。
• ヘロン写像 $\underline{\underline{H}}$ と辺から中線への対合写像 $\underline{\underline{J}}$ は可換であり、これにより辺版と中線版のヘロンの公式の構造的類似性が説明される。
• ヘロン行列の対角化によりホップ写像が回復され、ヘロン・ホップの公式は球面上の条件に簡略化され、ケンデールの定理の新しい証明が得られる。
• 三角形の形状空間は、標準的な球面計量を備えた位相的に球面であることが、ヘロン・ホップの形式によって確認される。
• 楕円度と非二等辺性は、ヘロン写像 $\underline{\underline{H}}$ の固有ベクトルとして同定され、対合写像 $\underline{\underline{J}}$ と同じ固有空間を持つため、面積と同等の幾何的意義を有する。
• 一般化されたヘロン・ホップの手法は $N$-点配置へと拡張可能であり、$N$-角形の形状空間が $\mathbb{CP}^{N-2}$ であり、フビニ・シュタディ計量を有するという示唆が得られ、ケンデールの定理が一般化される。