[論文レビュー] Alice in Triangleland: Lewis Carroll's Pillow Problem and Variants Solved on Shape Space of Triangles

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2017

Mathematics and Applications参考文献 14被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、ケンダールの形状空間と一様確率分布を用いて三角形の形状を球面上に写像することで、ルイス・キャロルのピロウ・プロブレム（任意の三角形が鈍角である確率を求める問題）を解いている。その結果、Prob(鈍角) = 3/4 が得られ、微分幾何学的手法を用いて二等辺、高さ、平板、直角三角形などの変種問題にも拡張している。

ABSTRACT

We provide a natural answer to Lewis Carroll's pillow problem of what is the probability that a triangle is obtuse, Prob(Obtuse). This arises by straightforward combination of a) Kendall's Theorem - that the space of all triangles is a sphere - and b) the natural map sending triangles in space to points in this shape sphere. The answer is 3/4. Our method moreover readily generalizes to a wider class of problems, since a) and b) both have many applications and admit large generalizations: Shape Theory. An elementary and thus widely accessible prototype for Shape Theory is thereby desirable, and extending Kendall's already-notable prototype a) by demonstrating that b) readily solves Lewis Carroll's well-known pillow problem indeed provides a memorable and considerably stronger prototype. This is a prototype of, namely, mapping flat geometry problems directly realized in a space to shape space, where differential-geometric tools are readily available to solve the problem and then finally re-interpret it in the original `shape-in-space' terms. We illustrate this program's versatility by posing and solving a number of variants of the pillow problem. We first find Prob(Isosceles is Obtuse). We subsequently define tall and flat triangles, as bounded by regular triangles whose base-to-median ratio is that of the equilateral triangle. These definitions have Jacobian and Hopfian motivation as well as entering Kendall's own considerations of `splinters': almost-collinear triangles. We find that Prob(Tall) = 1/2 = Prob(Flat) is immediately apparent from regularity's symmetric realization in shape space. However, Prob(Obtuse and Flat), Prob(Obtuse is Flat) and all other nontrivial expressions concerning having any two of the properties mentioned above, or having one of these conditioned on another, constitute nontrivial variants of the pillow problem, and we solve them all.

研究の動機と目的

• ルイス・キャロルの古典的ピロウ・プロブレムに対する自然で幾何学的な解法を提供すること：任意の三角形が鈍角である確率は何か？
• この解法を、二等辺、鈍角、鋭角、高さ、平板な形状配置といった三角形の形状的性質を含む、より広い幾何確率問題のクラスへと拡張すること。
• 特にケンダールの形状球とヤコビ座標を用いた形状理論の強力さと一般性を示し、統一的で微分幾何学的枠組みにおいて幾何確率問題を解くことの有効性を示すこと。
• 形状的性質の組み合わせ（例：鈍角かつ平板、鈍角であると分かっている場合の高さ）を含む条件付き確率を計算し、元の問題を越えた拡張を達成すること。
• 形状理論的手法を幾何学に応用するための広くアクセス可能なプロトタイプを確立すること。ここでは、形状球面上の初等的な微分幾何学的考察と対称性の議論を用いる。

提案手法

• 2次元平面上におけるすべてのラベル付きで鏡像を除いた三角形の空間が、トポロジー的に2次元球面（形状球）に同相であるというケンダールの定理を用いる。確率測度は一様分布である。
• ヤコビ座標を用いて三角形の配置をパラメータ化し、鋭角、直角、鈍角三角形の境界を球面的に表現する。この境界は、互いに接する3つの球面キャップを形成する。
• 幾何的性質（例：二等辺、直角、正三角形、同一直線上）を形状球上の特定の曲線および領域に写像し、弧長および面積の積分による幾何確率の計算を可能にする。
• ホップ写像とホップファイブレーション構造を用いて正規性と対称性を定義・分析し、特に底辺と中線の比を用いて「高さ」および「平板」な三角形を定義する。
• 微分幾何学的積分（例：球面上の弧長および面積）を用いて確率を計算する。主な式には、arcsin(1/3) や arcsin(1/√3) などの逆三角関数が含まれる。
• 形状球面上での条件付き確率の公式（例：Prob(A|B) = Prob(A ∩ B)/Prob(B)）を適用し、非自明な同時確率および条件付き確率を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形状空間上の一様分布のもとで、ランダムに選ばれた三角形が鈍角である確率は何か？
• RQ2 すべての三角形形状上の一様分布のもとで、二等辺三角形が鈍角である確率は何か？
• RQ3 三角形が高さまたは平板である確率は何か？ また、これらは鈍角および鋭角三角形の分布とどのように関係するか？
• RQ4 三角形が鈍角または鋭角であると分かっている場合に、それが高さまたは平板である条件付き確率は何か？
• RQ5 形状球面上の直角三角形曲線上の一様分布のもとで、直角三角形が平板または高さである確率は何か？

主な発見

• ランダムに選ばれた三角形が鈍角である確率は正確に 3/4 であり、これは形状球面上の一様測度から導かれる。鈍角領域は球面全体の面積の 3/4 を占める3つの球面キャップから構成される。
• 二等辺三角形が鈍角である確率は 1/3 である。これは、形状球面上の鈍角二等辺三角形の弧長を、二等辺三角形曲線の全長で割った比として計算される。
• 三角形が高さである確率は 1/2 であり、平板である確率も 1/2 である。これは、形状球面上の正三角形配置における反射対称性に起因する。
• 三角形が鈍角であると分かっている場合に、それが平板である条件付き確率は約 0.567、正確には 2/3 − α である。ここで α = (1/π) arcsin(1/√3) である。
• 三角形が鈍角であると分かっている場合に、それが高さである条件付き確率は約 0.433、正確には 1/3 + α である。ここで α は上記と同じである。
• 直角三角形が平板である確率は約 0.2163、正確には (2/π) arcsin(1/3) である。その補足確率（高さである確率）は約 0.7837 である。