[論文レビュー] $u au$-Convergence in locally solid vector lattices

Y. A. Dabboorasad, Eduard Emelyanov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2017

Advanced Banach Space Theory参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、局所的に固体なベクトルラティスにおけるuτ収束を導入し、研究する。これは、非有界ノルム収束および絶対的弱収束を一般化するものである。uτ位相を定義し、その距離化可能性および完備性に関する条件を確立し、τ有界集合の逐次的uτ完備性がLebesgue性およびLevi性を示すことを証明する。これは、ノルム空間および順序連続ラティスにおける既知の結果を拡張するものである。

ABSTRACT

Let $x_\\alpha$ be a net in a locally solid vector lattice $(X,\ au)$; we say that $x_\\alpha$ is unbounded $\ au$-convergent to a vector $x\\in X$ if $\\lvert x_\\alpha-x \ vert\\wedge w \\xrightarrow{\ au} 0$ for all $w\\in X_+$. In this paper, we study general properties of unbounded $\ au$-convergence (shortly, $u\ au$-convergence). $u\ au$-Convergence generalizes unbounded norm convergence and unbounded absolute weak convergence in normed lattices that have been investigated recently. Besides, we introduce $u\ au$-topology and study briefly metrizabililty and completeness of this topology.

研究の動機と目的

• 局所的に固体なベクトルラティスの設定において、非有界ノルム収束および絶対的弱収束を一般化すること。
• uτ収束およびuτ位相の性質を定義し、調査すること。
• uτ位相が距離化可能または完備となる条件を確立すること。
• 局所的に固体なベクトルラティスにおける、τ有界集合の逐次的uτ完備性がLebesgue性およびLevi性とどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• すべてのw ∈ X+に対して |xα − x| ∧ w τ→ 0 と定義して、uτ収束を定義する。
• uτ収束の位相としてuτ位相を導入する。
• Riesz擬ノルムの族 {ρj}j∈J を用いて、τ収束およびuτ収束を特徴付ける。
• もし (X, τ) が距離化可能であり、弱単位を持つならば、d(x,y) = Σ 1/2^k * ρk(|x−y|∧e)/(1+ρk(|x−y|∧e)) による距離によって、uτ位相は部分距離化可能であることを証明する。
• 文献[26, Thm. 1]の結果を応用し、uτ完備性をLebesgue性およびLevi性に関連付ける。
• 追加の有界性条件がなければ、τ完備性およびLebesgue性がuτ完備性を示さないことを示す例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的に固体なベクトルラティスにおいて、uτ位相がいつ距離化可能または部分距離化可能となるか？
• RQ2 τ有界集合が逐次的uτ完備となるための条件は何か？
• RQ3 局所的に固体なベクトルラティスにおいて、uτ完備性はLebesgue性およびLevi性とどのように関係するか？
• RQ4 無限次元のτ完備でLebesgueラティスが、uτ完備でないことがあるか？
• RQ5 uτ位相は常に位相的であるとは限らないが、いつより強い位相（距離位相より強い）となるか？

主な発見

• もし (X, τ) が距離化可能であり、弱単位を持つならば、uτ位相は部分距離化可能である。
• すべてのτ有界集合が逐次的uτ完備であるようなτ完備な局所的に固体なベクトルラティスは、Lebesgue性およびLevi性を満たす必要がある。
• 無限次元でτ完備かつLebesgueラティスであるが、同時にuτ完備であるような例が存在する。これは、uτ完備性が有限次元性を示すわけではないことを示している。
• uτ収束は、ノルムラティスにおけるun収束およびuaw収束を一般化する。
• 一般にはuτ位相は位相的ではないが、基礎となる位相τが距離化可能であり、ラティスに弱単位が存在するときには位相的である。
• ρj((xn)) = |xj| であるsの例は、dim X = ∞ であっても、τ完備でLebesgueラティスがuτ完備であることがあることを示している。