[論文レビュー] Unified formulation and analysis of mixed and primal discontinuous skeletal methods on polytopal meshes

Daniele Boffi, Daniele A. Di Pietro|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational MathematicsEngineering参考文献 54被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、多面体メッシュ上での混合および原発不連続スケルタル法の統一的定式化を提示し、グローバルに結合された不連続スケルタル自由度を通じて、さまざまな高次法を統一的に扱う。主な貢献は、適切な条件下で混合法と原発法の等価性を確立し、統一的解析によりエネルギーノルムおよび$L^2$ノルムにおける最適収束率を達成することにある。

ABSTRACT

We propose in this work a unified formulation of mixed and primal discretization methods on polyhedral meshes hinging on globally coupled degrees of freedom that are discontinuous polynomials on the mesh skeleton. To emphasize this feature, these methods are referred to here as discontinuous skeletal. As a starting point, we define two families of discretizations corresponding, respectively, to mixed and primal formulations of discontinuous skeletal methods. Each family is uniquely identified by prescribing three polynomial degrees defining the degrees of freedom and a stabilization bilinear form which has to satisfy two properties of simple verification: stability and polynomial consistency. Several examples of methods available in the recent literature are shown to belong to either one of those families. We then prove new equivalence results that build a bridge between the two families of methods. Precisely, we show that for any mixed method there exists a corresponding equivalent primal method, and the converse is true provided that the gradients are approximated in suitable spaces. A unified convergence analysis is also carried out delivering optimal error estimates in both energy- and $L^2$-norms.

研究の動機と目的

• 共通の枠組みを通じて、多面体メッシュ上での混合および原発不連続スケルタル法を統一すること。
• 混合法と原発法が等価となる条件を特定すること、特に勾配近似に関して。
• エネルギーおよび$L^2$ノルムにおける最適誤差推定をもたらす統一的収束解析を提供すること。
• ハイブリッド高次法、仮想要素法、およびミメティック有限差分スキームを含む、多数の既存手法が提案された枠組みに適合することを示すこと。

提案手法

• 本手法は、要素およびスケルタル自由度のための3つの多項式次数に基づいて、2つの離散化族（混合および原発）を定義する。
• 安定性（一様ノルム同等性）と多項式整合性の2条件を満たせば有効である、安定化双線形形式を導入する。
• 面では単一値であるが頂点/辺で不連続である不連続スケルタル自由度を用い、グローバル結合性を実現する。
• 混合法と原発法の等価性を証明する：任意の混合法に対して、それに対応する等価な原発法が存在し、逆に勾配が適切な有限次元空間で近似される場合には、逆も成り立つ。
• エネルギーおよび$L^2$誤差推定を用いた統一的収束解析を実施し、楕円正則性および射影演算子の近似性質を活用する。
• 解析には、破損楕円射影、$L^2$射影、およびTonti図と離散微分作用素を用いた離散的分部積分が不可欠な役割を果たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多面体メッシュ上での混合および原発不連続スケルタル法は、単一の定式化によって統一可能か？
• RQ2 混合法と原発法が等価となる条件は何か。逆に、原発法が混合法と等価となる条件は？
• RQ3 統一的定式化のエネルギーノルムおよび$L^2$ノルムにおける最適収束率は何か？
• RQ4 ハイブリッド高次法、仮想要素法、ミメティック有限差分スキームなどの既存手法は、この統一的枠組みにどのように適合するか？
• RQ5 安定化双線形形式が安定性および収束性を保証するための最小限の仮定は何か？

主な発見

• 本稿では、任意の混合不連続スケルタル法に対して、それに対応する等価な原発法が存在することを確立し、勾配が適切な有限次元空間で近似される場合には逆も成り立つ。
• 適切な正則性仮定のもとで、原発法のエネルギーノルムにおける最適収束率が$order $h^{k+2}$であることが証明された。また、混合法の$L^2$ノルムにおいても同様に最適収束率が得られる。
• 統一的解析により、エネルギーおよび$L^2$ノルムの両方で最適誤差推定が得られ、収束率は多項式次数$k$および解の正則性に依存する。
• 安定化双線形形式には、安定性（一様ノルム同等性）と多項式整合性の2つの簡単な条件のみを満たせば十分であり、新規スキームの検証が容易になる。
• 本枠組みは、単体メッシュ上でのRaviart–ThomasおよびCrouzeix–Raviart要素を含む広範な既存手法をカバーしており、それらの等価性を多面体メッシュへ拡張する。
• 解析により、エネルギーノルムでは$k \times k$の多項式次数、$L^2$ノルムでは$k+1$の多項式次数で最適収束が達成され、誤差境界が$h^{k+2}$に比例することが確認された。