[論文レビュー] Uniqueness in law for stable-like processes of variable order

Peng Jin|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2018

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、安定的性質を示す過程の変動型指数 α(x) およびジャンプ強度 n(x,h) が空間的に変化する場合のマルティンゲール問題における解の法則としての一意性を確立する。α(x) および n(x,h) に対して弱いディニ型連続性条件を仮定したもとで、局所化による議論と近似作用素との比較を用いて、定数型の安定的性質を示す過程に限らない、最小限の係数に関する正則性仮定のもとで、変動型のケースにまで一意性の結果を拡張する。

ABSTRACT

Let $d\ge1$. Consider a stable-like operator of variable order \begin{align*} \mathcal{A}f(x) & =\int_{\mathbb{R}^{d} \backslash\{0\}} \left[f(x+h) -f(x) -\mathbf{1}_{\{|h|\le1\}}h \cdot abla f(x) ight]\frac{n(x,h)}{|h|^{d+α(x)}} \mathrm{d}h, \end{align*} where $0

研究の動機と目的

• 空間的に変化する安定的指数 α(x) およびジャンプ強度 n(x,h) を持つ変動型安定的性質を示す作用素に関連するマルティンゲール問題の解の法則としての一意性を確立すること。
• 従来の研究と比較して、α(x) および n(x,h) に対する正則性仮定を緩和し、特に強い滑らかさや摂動に基づく条件を避けること。
• 定数型安定的性質を示す過程に既に知られている一意性結果を、α(x) が x に依存して変化するより一般的な変動型設定にまで拡張すること。
• 非退化で空間的に変化する Lévy 測度を有するマルコフ過程を解析するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 停止時刻 τ₁ を用いた局所化手順を導入し、小球からの遷移を分解することで、局所的解析を可能にする。
• α̃(y) を区分的定数関数、ñ(x,h) を連続関数とするように変更された作用素 Ã を構築し、元の作用素 A を近似する。このとき、修正された作用素 Ã が仮定 1.1 を満たすように保証する。
• 強マルコフ性と条件付き期待値による確率測度の比較を用い、任意の n に対して二つの解 Pˣ および Qˣ が σ-代数 F_{τₙ} 上で一致することを示す。
• 対称性およびスケーリング性の性質から導かれる球からの抜ける時間の一様な有界性を用い、τₙ → ∞ a.s. であることを示し、これにより全パス上で一致することを導く。
• E_{Pˣ}[e^{-τ₁}] < 1 が一様に成り立つこと（すなわち、抜ける時間のモーメントが指数的に減衰すること）を用い、Pˣ および Qˣ がすべての事象で一致することを結論づける。
• 近似作用素に対するマルティンゲール問題の解の可測選択を用いてカップリング測度を定義し、確率測度の等しさを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的に変化する安定的指数 α(x) およびジャンプ強度 n(x,h) に対して、どのような条件下で変動型安定的性質を示す作用素に関連するマルティンゲール問題が法則として一意に解かれるか？
• RQ2 滑らかでない係数を有する安定的性質を示す過程に対しても、法則としての一意性が示せるか、特に α(x) が僅かにディニ連続である場合にその可能性は？
• RQ3 定数型安定的性質を示す過程に既に知られている一意性結果を、係数の強い正則性を仮定せずに、変動型の設定にまで拡張することは可能か？
• RQ4 マルティンゲール問題の適切な定義を保ちつつ、解の比較が可能な局所化近似作用素を構築することは可能か？

主な発見

• 仮定 1.1 が成り立つ限り、すなわち n(x,h) および α(x) がディニ連続で、それらの変動が一様に有界である限り、変動型安定的性質を示す作用素 A に関連するマルティンゲール問題の解の法則としての一意性が成立する。
• α(x) の変動に関するオシレーショングローバル条件 β(r) = o(|ln r|⁻¹) が r → 0 のとき成り立つ限り、α(x) が Hölder 連続でない場合でも一意性が保証される。
• 同じ仮定のもとで、マルティンゲール問題の解の存在が保証され、主な貢献は一意性の証明にある。
• 証明は、現在位置の周りの半径 δ の球からの n 回目の抜ける時間 τₙ を用いた局所化による議論に依存している。
• 著者らは、Pˣ(τₙ → ∞) = 1 および Qˣ(τₙ → ∞) = 1 を示しており、これは確率測度 Pˣ および Qˣ がすべての σ-代数 F_{τₙ} 上で一致すること、したがって全パス空間上で一致することを意味する。
• 主な技術的ステップは、α̃(y) を区分的定数関数とするように変更された作用素 Ã を構築し、マルティンゲール問題が適切に定義されており、Pˣ および Qˣ の局所的法則が一致することを示すものであり、これをグローバルに拡張する。