[論文レビュー] Universal continuous bilinear forms for compactly supported sections of Lie algebra bundles and universal continuous extensions of certain current algebras

Jan Milan Eyni|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、σ-コンパクト多様体上のリー代数バンドルのコンパクト台付き切断のリー代数に対して、普遍的連続不変双線形形式を構成し、$A \otimes \mathfrak{g}$ 形式のカレント代数に対する普遍的連続中心拡大を確立する。主な貢献は、JanssensとWockelが用いたコサイクルの連続性と普遍性を厳密に裏付けるものであり、以前の結果を $C^\infty_c(M, \mathfrak{g})$ を特別な場合として含むように拡張している。

ABSTRACT

We construct a universal continuous invariant bilinear form for the Lie algebra of compactly supported sections of a Lie algebra bundle in a topological sense. Moreover we construct a universal continuous central extension of a current algebra that is the tensor product of a finite-dimensional Lie algebra g and a certain topological algebra A. In particular taking A as the compactly supported smooth functions on a sigma-compact manifold M, we obtain a more detailed justification for a recent result of Janssens and Wockel concerning a universal extension for the Lie algebra of compactly supported g-valued smooth functions on M.

研究の動機と目的

• コンパクト台付き滑らか切断のリー代数 $C^\infty_c(M, \mathfrak{K})$ に対して、σ-コンパクト多様体 $M$ 上のリー代数バンドル $\mathfrak{K}$ の普遍的連続不変双線形形式を構築すること。
• JanssensとWockelによる $C^\infty_c(M, \mathfrak{g})$ の中心拡大の構成で用いられた普遍的コサイクルの連続性を厳密に証明すること。
• 局所凸代数 $A$ が局所凸代数の完全な帰納極限であり、局所単位元を持つ場合に、カレント代数 $A \otimes \mathfrak{g}$ の普遍的連続中心拡大の構成を一般化すること。
• 代数 $A$ のクラスが、σ-コンパクト多様体 $M$ に対して $C^\infty_c(M)$ を含むことを示すことにより、コンパクト台付き滑らか関数のケースをカバーすること。

提案手法

• 双対空間 $V^{T}_{\mathfrak{g}} = S^2(\mathfrak{g}) / \overline{\text{span}}\{[x,y]\vee z - x\vee[y,z]\}$ を用いた商として、普遍的連続不変双線形形式を構成し、バンドル $V(\mathfrak{K})$ を用いて切断へと持ち上げる。
• 値が $V(\mathfrak{K})$ にとる、$C^\infty_c(M, \mathfrak{K}) \times C^\infty_c(M, \mathfrak{K})$ 上の双線形形式 $\kappa_{\mathfrak{g}}(\eta, \zeta) = \kappa_{\mathfrak{g}} \circ (\eta, \zeta)$ を定義する。
• 商空間 $\Omega^1_c(M, V_{\mathfrak{g}})/d(C^\infty_c(M, V_{\mathfrak{g}}))$ 内の標準的コサイクル $\omega(f,g) = [\kappa_{\mathfrak{g}}(f, dg)]$ を用いて、普遍的連続2次コサイクルを定義する。
• コサイクル $\omega$ が、商空間 $\Omega^1_c(M, V_{\mathfrak{g}})/d(C^\infty_c(M, V_{\mathfrak{g}}))$ への写像として連続であることを確認することで、連続性を証明する。
• すべての連続2次コサイクルが、連続線形写像を介して一意に $\omega$ を通じて因数分解されることを示すことにより、拡大の普遍性を確立する。
• 局所凸空間に対するWhiteheadの定理を用いて、半単純な $\mathfrak{g}$ に対して $H^2_{ct}(\mathfrak{g}, V) = 0$ が成り立つことを示し、これによりコサイクルが $\mathfrak{g}$ 上で内因的であることが示され、拡大の普遍性が裏付けられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト台付きのリー代数バンドル $\mathfrak{K}$ の切断のリー代数 $C^\infty_c(M, \mathfrak{K})$ に対して、普遍的連続不変双線形形式が存在するか？
• RQ2 商空間 $\Omega^1_c(M, V_{\mathfrak{g}})/d(C^\infty_c(M, V_{\mathfrak{g}}))$ 内のコサイクル $\omega(f,g) = [\kappa_{\mathfrak{g}}(f, dg)]$ は、$C^\infty_c(M, \mathfrak{g})$ に対して連続的かつ普遍的か？
• RQ3 局所凸代数 $A$ が局所凸代数の完全な帰納極限であり、局所単位元を持つ場合に、カレント代数 $A \otimes \mathfrak{g}$ の普遍的連続中心拡大を拡張できるか？
• RQ4 JanssensとWockelによる $C^\infty_c(M, \mathfrak{g})$ の普遍的拡大の構成において、以前に欠落していた連続性の証明が可能か？
• RQ5 普遍的拡大が存在する代数 $A$ のクラスは、σ-コンパクト多様体 $M$ に対して $C^\infty_c(M)$ を含む十分広いものか？

主な発見

• $C^\infty_c(M, \mathfrak{K})$ 上に、典型ファイバー $\mathfrak{g}$ 上の普遍形式 $\kappa_{\mathfrak{g}}$ を繊維ごとに適用することで得られるベクトルバンドル $V(\mathfrak{K})$ に値をとる、普遍的連続不変双線形形式が構成された。
• 値が $\Omega^1_c(M, V_{\mathfrak{g}})/d(C^\infty_c(M, V_{\mathfrak{g}}))$ にとるコサイクル $\omega(f,g) = [\kappa_{\mathfrak{g}}(f, dg)]$ が連続であることが証明され、JanssensとWockelの元々の構成におけるギャップが埋められた。
• 局所凸代数 $A$ が局所凸代数の完全な帰納極限であり、局所単位元を持つ場合に、カレント代数 $A \otimes \mathfrak{g}$ の普遍的連続中心拡大が確立された。このクラスは、σ-コンパクト多様体 $M$ に対して $C^\infty_c(M)$ を含む。
• すべての連続2次コサイクルが、連続線形写像を介して一意に $\omega$ を通じて因数分解されることから、拡大は普遍的である。
• 普遍性の証明は、半単純な $\mathfrak{g}$ に対して $H^2_{ct}(\mathfrak{g}, V)$ が消えること、すなわち局所凸空間に対するWhiteheadの定理によって保証されることに依存している。
• この構成により、Janssens–Wockelのコサイクルが実際に普遍的かつ連続的であることが確認され、彼らの $C^\infty_c(M, \mathfrak{g})$ に関する結果に対する完全な正当化が得られた。