[論文レビュー] Virtual Element Methods for hyperbolic problems on polygonal meshes

Giuseppe Vacca|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 34被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、多角形メッシュ上での2階双曲型問題、特に線形波動方程式を解くための仮想有限要素法（VEM）を開発する。$H^1$-および $L^2$-適合な離散双線形形式を用いて、安定な半離散および完全離散スキームを構築することで、$H^1$-半ノルムおよび $L^2$-ノルムにおいて最適収束率を達成する。数値的検証により、特に時間積分にバーティング法を用いる場合の精度と頑健性が確認された。

ABSTRACT

In the present paper we develop the Virtual Element Method for hyperbolic problems on polygonal meshes, considering the linear wave equations as our model problem. After presenting the semi-discrete scheme, we derive the convergence estimates in H^1 semi-norm and L^2 norm. Moreover we develop a theoretical analysis on the stability for the fully discrete problem by comparing the Newmark method and the Bathe method. Finally we show the practical behaviour of the proposed method through a large array of numerical tests.

研究の動機と目的

• 一般の多角形メッシュ上での双曲型問題、特に線形波動方程式への仮想有限要素法（VEM）の拡張を目的とする。
• 多項式射影を用いた計算可能な離散双線形形式を備えた半離散VEM定式化を開発する。
• 半離散問題における $H^1$-半ノルムおよび $L^2$-ノルムにおける収束解析を行う。
• ニューマークおよびバーティング時間積分法を用いた完全離散スキームの安定性および収束を調査する。
• ボロノイメッシュを用いた広範な数値実験を通じて、理論的予測を検証する。多項式次数および時間刻みを変化させた場合の収束率を評価する。

提案手法

• 本手法は、自由度と多項式空間への射影によって定義される仮想有限要素空間を採用し、非多項式基底関数の明示的知識が不要な状態で離散双線形形式を計算可能にする。
• 離散 $H^1$-双線形形式は勾配射影を用いて構築され、$L^2$-双線形形式は[1]の技術を応用して最適な精度を確保する。
• 半離散定式化は、波動方程式を変分的意味で弱く強制することで導出され、時間に関する常微分方程式系が得られる。
• 完全離散化にはニューマーク法およびバーティング法を時間積分器として適用し、両者の安定性および収束性を解析する。
• 本手法はパッチテストを満たし、非凸多角形要素に対しても最適収束を維持する。
• 数値実験ではボロノイメッシュを用い、$k=1$および $k=2$ の多項式次数について収束率を評価し、誤差ノルム $E^{1}_{h, au}$ および $E^{0}_{h, au}$ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 仮想有限要素法は、多角形メッシュ上での双曲型問題、特に線形波動方程式に成功裏に拡張可能か？
• RQ2 多角形要素におけるVEM半離散スキームの $H^1$-半ノルムおよび $L^2$-ノルムにおける収束挙動はいかなるものか？
• RQ3 完全離散VEM定式化において、ニューマーク法とバーティング法は安定性および精度の観点でどのように比較されるか？
• RQ4 非安定化質量行列を用いた場合でも、VEMは最適収束を維持するか？
• RQ5 特にExplicit時間積分において、不自然な高周波数振動を効果的に扱えるか？

主な発見

• VEM半離散スキームは、$H^1$-半ノルムおよび $L^2$-ノルムの両方で最適収束率を達成し、多項式次数 $k=1,2$ に対して誤差が $h^k$ の割合で減少することを確認した。理論的予測と一致する。
• $k=1$ の場合、$\tau=1/40$ で $H^1$-誤差 $E^{1}_{h, au}$ は約 $3.38 \times 10^{-2}$ に安定化するが、$k=2$ の場合、$7.93 \times 10^{-4}$ にまで低下し、最適収束が確認された。
• $k=2$ の $L^2$-誤差 $E^{0}_{h, au}$ は、$\tau=1/5$ のとき $8.14 \times 10^{-3}$ から $\tau=1/40$ のとき $5.77 \times 10^{-6}$ にまで減少し、最適収束次数が裏付けられた。
• バーティング法は、小さな $\mathrm{CFL}$ 値であっても、ニューマークの台形則よりも不自然な振動を排除する点で優れている。
• 非安定化双線形形式は安定化バージョンと非常に近い誤差を示したが、ニューマークスキームで $\beta<1/4$ の場合、質量行列が特異化する可能性があり、その使用を制限する。
• 数値実験により、VEMは多角形メッシュ、特に非凸要素に対しても精度と安定性を維持し、収束次数の低下を伴わずに任意の多角形要素を扱えることが確認された。