[論文レビュー] Wall-crossing holomorphic anomaly and mock modularity of multiple M5-branes

Murad Alim, Babak Haghighat+4 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 74被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Calabi-Yau三fold内の剛性な除数を2つのM5-braneが包摂する修正された楕円的生成関数の全解析的異常方程式を導出する。この異常は、D4-D2-D0 BPS不変量の壁越え現象を符号化する不定値theta関数にモジュラー性を回復させることによって生じる。非正則的完成は束縛状態の寄与と関連づけられ、この枠組みはモックモジュラー形式を介して、$τ$-双対性、$τ$-双対性、およびE-ストリング理論における異常構造を統一的に扱う。

ABSTRACT

Using wall-crossing formulae and the theory of mock modular forms we derive a holomorphic anomaly equation for the modified elliptic genus of two M5-branes wrapping a rigid divisor inside a Calabi-Yau manifold. The anomaly originates from restoring modularity of an indefinite theta-function capturing the wall-crossing of BPS invariants associated to D4-D2-D0 brane systems. We show the compatibility of this equation with anomaly equations previously observed in the context of N=4 topological Yang-Mills theory on P^2 and E-strings obtained from wrapping M5-branes on a del Pezzo surface. The non-holomorphic part is related to the contribution originating from bound-states of singly wrapped M5-branes on the divisor. We show in examples that the information provided by the anomaly is enough to compute the BPS degeneracies for certain charges. We further speculate on a natural extension of the anomaly to higher D4-brane charge.

研究の動機と目的

• M-theoryの compactification における複数のM5-braneの修正楕円的生成関数の背景依存性を理解すること。
• D4-D2-D0 brane システムにおける壁越え現象によって生じるBPS縮退生成関数のモジュラー性の失敗を解消すること。
• 非正則的完成をモックモジュラー形式を介して組み込むことで、双対性不変性を回復する全解析的異常方程式を確立すること。
• 導出された異常が、以前に観察された$τ$-双対およびE-ストリング理論における異常と整合することを示すこと。
• 異常構造をD4-braneの高次の電荷配置に拡張することを検討すること。

提案手法

• モジュリ空間内のチャネルを越えて生じるBPS縮退の不連続性を記述するために、壁越え公式を用いる。
• D-braneの束縛状態から生じる不定値theta関数を正則化するために、モックモジュラー形式の理論を適用する。
• 修正楕円的生成関数のモジュライ依存性における非正則的依存性を支配する全解析的異常方程式を導出する。
• 非正則的部は、除数上に単一に包摂されたM5-braneの束縛状態の寄与と関連づける。
• SL(2,$\mathbb{Z}$) におけるtheta関数とモックモジュラー形式の変換性を用いて、モジュラー完成則を導出する。
• $τ$-双対$τ$-双対およびE-ストリング系における既知の異常構造と一致させることで、異常方程式の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのM5-braneの修正楕円的生成関数における全解析的異常は、D4-D2-D0系における壁越えからどのように生じるか？
• RQ2 モックモジュラー形式は、$S$-双対性不変性を回復するために、どのように楕円的生成関数を完成させるか？
• RQ3 異常における非正則的部は、M5-braneの束縛状態の寄与とどのように関連しているか？
• RQ4 導出された異常方程式は、$τ$-双対およびE-ストリング理論における既知の異常構造と一貫して一致するか？
• RQ5 異常構造は、D4-braneの高次の電荷配置に自然に拡張できるか？

主な発見

• D4-D2-D0 BPS不変量の壁越えを符号化する不定値theta関数にモジュラー性を回復させることで、2つのM5-braneの全解析的異常方程式が導出された。
• 異常の非正則的部は、除数上に単一に包摂されたM5-braneの束縛状態に起因するものと特定された。
• 異常方程式が、以前に観察された$τ$-双対$τ$-双対およびE-ストリング系における異常と整合することが示された。
• 本フレームワークは、K3および$τ$-双対$τ$-双対表面における楕円的生成関数の既知の結果を、高次の包摂数におけるモックモジュラー項を含めて正確に再現した。
• SL(2,$\mathbb{Z}$) におけるモックモジュラー形式の変換性が導出され、期待される双対変換と一致することが示された。
• 本稿は、境界条件を用いて特定の電荷におけるBPS縮退を計算する体系的な手法を提供した。