[論文レビュー] Weight structures in localizations (revisited) and the weight lifting property

Vladimir Sosnilo|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、三角圏に重み構造を備えた状態で、重み正確な局所化関手を介して、局所化された三角圏の重み構造が引き続き存在するための条件を確立する。部分圏がオア条件を満たす射の族によって生成される場合、局所化圏における非正の重みへ写像する対象の明示的特徴付けが与えられ、誘導された重み構造の簡略化された記述と、モチーフコホモロジーおよびチャウ・重みホモロジーへの応用が得られる。

ABSTRACT

The goal of the current paper is to study in detail the behaviour of weight structures under localizations. Let $\underline{D}$ be a triangulated subcategory of a triangulated category $\underline{C}$ endowed with a weight structure $w$; assume that any object of $\underline{D}$ admits a weak weight decomposition inside $\underline{D}$ (i.e., $\underline{D}$ is compatible with $w$ in a certain sense). Then we prove that the localized category $\underline{C}/\underline{D}$ possesses a weight structure $w_{\underline{C}/\underline{D}}$ such that the localization functor $\underline{C} \stackrel{L} o \underline{C}/\underline{D}$ is weight-exact (i.e., respects weights). Suppose moreover that $\underline{D}$ is generated by $B = \operatorname{Cone}(S)$, where $S \subset \operatorname{Mor}(\underline{Hw})$ is a class of morphisms satisfying the Ore condition. In this case we give a certain explicit description of those $X\in \operatorname{Obj} \underline{C}$ such that $L(X)$ has non-positive weights in $\underline{C}/\underline{D}$. This yields a new simplified description of $w_{\underline{C}/\underline{D}}$. We apply this result to the setting of Tate motives and prove some new properties of weight $0$ motivic cohomology of Tate motives. This result also will be applied to the study of the so-called Chow-weight homology. Furthermore, we ask whether there exists a description as above for objects having non-positive weights in $\underline{C}/\underline{D}$ for $\underline{D}$ being an arbitrary subcategory of $\underline{C}$ admitting weak weight decompositions. Under certain assumptions we find a necessary and sufficient condition in terms of $K_0(\underline{Hw})$ for having such a description (and we give an example where such a description is not possible).

研究の動機と目的

• 三角圏の局所化における重み構造の振る舞いを理解すること。
• 局所化関手と整合する重み構造を局所化圏が有するための条件を特定すること。
• 部分圏がオア条件を満たす射の族によって生成される場合、局所化圏 C/D における非正の重みへ写像する対象の明示的記述を提供すること。
• 結果をタート・モチーフおよびチャウ・重みホモロジーに適用し、重み 0 のモチーフコホモロジーの新しい性質を明らかにすること。
• 任意の弱重み分解を許容する部分圏に対して、このような明示的記述が可能かどうかを調査し、K₀(Hw) を用いて必要十分条件を同定すること。

提案手法

• 論文は、弱重み分解を許容する三角圏の部分圏と重み構造の整合性を分析する。
• 重み構造のハート内の射の族 S に対してオア条件を満たすことで、部分圏 D を生成する。
• 局所化関手 L: C → C/D が重み正確となるように、C/D に誘導された重み構造 w_{C/D} を構成する。
• D がオア条件を満たす構造によって生成される場合、C 内の対象 X で L(X) が C/D において非正の重みを有するものの特徴付けを行う。
• K₀(Hw) を用いて、任意の部分圏に対してこのような特徴付けが可能かどうかを判定する。
• 結果を特にタート・モチーフを含むモチーフ圏に適用し、重み 0 のモチーフコホモロジーの性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三角圏に重み構造を備えた状態で、その局所化が重み構造を有し、かつ局所化関手が重み正確となるような条件は何か？
• RQ2 D がオア条件を満たす射の族によって生成される場合、C に属するどの対象が C/D において非正の重みへ写像するか、明示的に記述できるか？
• RQ3 任意の弱重み分解を許容する部分圏 D に対して、C/D における非正の重みを持つ対象の一般的特徴付けは可能か？
• RQ4 K₀(Hw) は、このような特徴付けの存在を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 これらの結果は、タート・モチーフの文脈におけるモチーフコホモロジーおよびチャウ・重みホモロジーの研究にどのような意味を持つのか？

主な発見

• D が元の重み構造 w と整合する限り、局所化圏 C/D は重み構造 w_{C/D} を持ち、局所化関手 L: C → C/D は重み正確である。
• D がハート内の射の族 S によって生成され、S がオア条件を満たす場合、L(X) が C/D で非正の重みを有する C 内の対象 X は、S に含まれる射を含む特定の条件によって特徴付けられる。
• この特徴付けにより、C/D における重み構造 w_{C/D} の簡略化され明示的な記述が得られる。
• 結果として、特に局所化の文脈において、タート・モチーフの重み 0 のモチーフコホモロジーに関する新しい性質が得られる。
• 一般にこのような特徴付けが存在するための必要十分条件は、グローテンディーク群 K₀(Hw) を用いて与えられ、そのような記述が存在しない例も提示されている。