[論文レビュー] What object does the wave function describe?

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|May 21, 2004

Quantum Mechanics and Applications参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、量子力学における波動関数が個々の粒子を記述するのではなく、古典的極限（$ℏ \to 0$）におけるシュレーディンガー方程式に基づいて、古典的粒子の統計的集合を記述すると主張している。変分原理と作用形式を用いて、量子系が古典的極限において古典的粒子の統計的集合に還元されることを示し、量子力学の統計的解釈が形式の根本的特徴であることを支持している。これは便宜的な仮定ではなく、数学的必然性である。

ABSTRACT

It is shown that the wave function describes the state of the statistical ensemble E[S] of individual particles, or the statistical average particle . This result follows from the fact that in the classical limit h=0 the Schroedinger equation turns to the dynamic equations for the statistical ensemble of classical particles. The statement that the wave function describes the state of an individual particle is incompatible with the quantum mechanics formalism. It is shown that the statistical interpretation of quantum mechanics is a corollary of the fact, that the QM formalism is the technique of the statistical ensemble description, restricted by constraints of the dynamic equation linearity.

研究の動機と目的

• 波動関数が個々の量子系を記述するのか、それとも統計的集合を記述するのかという長年の解釈論争を解決すること。
• 対応原理と形式的量子力学を用いて、量子力学の統計的解釈の数学的基盤を確立すること。
• 量子系の古典的極限（$\\hbar \\to 0$）が、単一の古典的粒子ではなく、古典的粒子の統計的集合に還元されることを示すこと。
• 標準的量子形式が本質的に統計的集合を記述する形式であることを示し、動的方程式の線形性によって制約されること。

提案手法

• 多成分場表現からのヤコビアンに基づく変換を用いて、古典的粒子の統計的集合の作用関数（$\\mathcal{E}[\\mathcal{S}$_{\\mathrm{cl}}$]$）を導出する。
• 関係式 $\rho = \psi^*\psi$、$p_k \propto \psi^* \partial_k \psi - \partial_k \psi^* \cdot \psi$ を用いて、複素波動関数 $\psi$ を運動量と密度変数に関連付ける。
• 作用関数 $\\mathcal{E}[\\mathcal{S}$_{\\mathrm{cl}}$]$ に対して変分法を適用し、$\\hbar \to 0$ の極限でシュレーディンガー方程式と同等の運動方程式を導出する。
• ヤコビアン $J$ と場の微分に関する恒等式を用いて、特定の制約下で作用を、標準的量子作用と一致する形に簡約する。
• 量子系の作用（$\\mathcal{S}$_{\\mathrm{q}}$}$）と統計的集合の作用（$\\mathcal{E}[\\mathcal{S}$_{\\mathrm{cl}}$]$）を $\\hbar \to 0$ の極限で比較し、渇きの流れ条件の下で等価であることを示す。
• $\\hbar = 0$ のとき、量子作用が統計的集合作用に還元されることを示し、古典的極限が単一の粒子ではなく統計的集合であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的極限において、波動関数は個々の粒子を記述するのか、それとも粒子の統計的集合を記述するのか？
• RQ2 量子力学の統計的解釈は形式の結果であるのか、それとも追加の仮定であるのか？
• RQ3 $\\hbar \to 0$ のとき、量子系は単一の古典的粒子に還元されるのか、それとも古典的粒子の統計的集合に還元されるのか？
• RQ4 シュレーディンガー方程式は、古典的粒子の統計的集合の古典的極限として導出可能か？
• RQ5 シュレーディンガー方程式の線形性は、その背後にある系の統計的性質の反映であるのか？

主な発見

• 古典的極限（$\\hbar \to 0$）において、量子系 $\\mathcal{S}$_{\\mathrm{q}}$}$ は、単一の古典的粒子ではなく、古典的粒子の統計的集合 $\\mathcal{E}[\\mathcal{S}$_{\\mathrm{cl}}$]$ に還元される。
• 渇きの流れ条件の下で、$\\hbar \to 0$ の極限において、量子系の作用関数 $\\mathcal{S}$_{\\mathrm{q}}$}$ と統計的集合の作用関数 $\\mathcal{E}[\\mathcal{S}$_{\\mathrm{cl}}$]$ が同一になる。
• 古典的極限における形式の分析に基づき、波動関数 $\psi$ は個々の粒子を記述するのではなく、統計的平均粒子 $\\langle\\mathcal{S}\\rangle$ を記述していることが示された。
• 標準的量子形式は数学的に統計的集合記述と同等であり、方程式の線形性は集合形式主義の制約から生じる。
• 波動関数が個々の粒子を記述するとする主張は、古典的極限解析によって確認された量子力学形式と整合しない。
• 量子力学の統計的解釈は解釈ではなく、古典的極限と作用の等価性から導かれる数学的必然性である。