[論文レビュー] What properties of numbers are needed to model accelerated observers in relativity?

Gergely Székely|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2012

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特殊相対性理論における加速観測者を一階論理を用いてモデル化する際に、数体系が満たすべき代数的性質を調査する。一般の加速観測者をモデル化するには実閉体で十分であるが、一様に加速する観測者をモデル化するには指数関数について閉じた数体系——つまり、順序体の言語において公理化可能でないクラス——を必要とする。主な結果は、実代数的数体で一様加速をモデル化できないことである。

ABSTRACT

We investigate the possible structures of numbers (as physical quantities) over which accelerated observers can be modeled in special relativity. We present a general axiomatic theory of accelerated observers which has a model over every real closed field. We also show that, if we would like to model certain accelerated observers, then not every real closed field is suitable, e.g., uniformly accelerated observers cannot be modeled over the field of real algebraic numbers. Consequently, the class of fields over which uniform acceleration can be investigated is not axiomatizable in the language of ordered fields.

研究の動機と目的

• 特殊相対性理論における加速観測者をモデル化するために必要な数体系の最小限の代数的性質を特定すること。
• 実代数的数体が一様に加速する観測者をサポートできるかどうかを調査すること。
• 一様加速観測者をモデル化するのに適した数体のクラスの論理的公理化可能性を検討すること。
• 一階論理と順序体公理が基礎的物理理論において果たす役割を明確化すること。
• 相対論的枠組みにおいて一様加速運動をモデル化するにあたり、指数関数的閉包の必要性を確立すること。

提案手法

• 身体と数量の2つのスロットを持つ2スロット言語上に、$\mathsf{AccRel_d}$ と表記される一階公理的理論として加速観測者の形式的定式化を行う。
• $\mathsf{AccRel_d}$ の公理を用いて、任意の実閉体が加速観測者のモデルを支持することを証明する。
• 一様に加速する観測者の存在を示す追加公理 $\mathsf{Ax\exists UnifOb}$ を導入する。
• モデル理論的推論を用いて、実代数的数体上では $\mathsf{AccRel_d} + \mathsf{Ax\exists UnifOb}$ のモデルが存在しないことを示す。
• 稠密部分体上で指数関数が一意に定まることを応用し、$\exp$ を実代数的数に制限したものは、理論内で定義可能でないことを証明する。
• Pickert–Hion 定理を用いて、$\mathbb{R}$ の部分体をアーケメデス的順序体として特徴付け、指数関数について閉じた体のみが必要な微分可能関数をサポートできることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特殊相対性理論における加速観測者をモデル化するために、数体系が満たすべき性質は何か？
• RQ2 実代数的数体上では一様に加速する観測者をモデル化できるか？
• RQ3 一様加速観測者をモデル化できる体のクラスは、順序体の言語における一階論理で公理化可能か？
• RQ4 指数関数は一様加速運動の定義可能性にどのように寄与するか？
• RQ5 数体系の選択が相対論的理論の論理的・物理的整合性にどのように影響するか？

主な発見

• $\mathsf{AccRel_d}$ は、実閉体、特に実代数的数体を含むすべての実閉体上でモデルを持つ。
• 一様に加速する観測者の存在、すなわち $\mathsf{Ax\exists UnifOb}$ によって形式化されたものから、数体が指数関数をサポートしなければならないことが示唆される。
• 実代数的数体は一様に加速する観測者をサポートできない。なぜなら、オイラー数 $e = \exp(1)$ は超越的であり、体に属さないからである。
• 一様加速観測者をモデル化できる体のクラスは、順序体の言語における一階論理で公理化可能でない。
• $\mathit{Q} \subseteq \mathbb{R}$ における微分可能関数 $f$ で $f' = f$ かつ $f(0) = 1$ を満たすものがあれば、それは実指数関数を $\mathit{Q}$ に制限したものでなければならないが、$\mathit{Q}$ が実代数的数体である場合にはこの性質を満たさない。
• 非公理化可能性の結果は、一様加速に必要な指数関数についての閉包性を捉えることができない一階文が、順序体の言語に存在しないという事実に起因する。