[論文レビュー] Two Essays on the Archimedean versus Non-Archimedean Debate

Elemér E Rosinger|ArXiv.org|Sep 25, 2008

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、幾何学および物理学における長きにわたり受け入れられてきたアーベルの公理の仮定に疑問を呈し、時空が非アーベル的である可能性を主張している。縮小されたべき代数（RPA）を用いて、無限大および無限小量が存在する非アーベル的構造が、物理的問題における無限大を恣意的な修正なしに解消する、より豊かで柔軟な数学的枠組みを可能にすることを示している。

ABSTRACT

Part 1 : For more than two millennia, ever since Euclid's geometry, the so called Archimedean Axiom has been accepted without sufficiently explicit awareness of that fact. The effect has been a severe restriction of our views of space-time, a restriction which above all affects Physics. Here it is argued that, ever since the invention of Calculus by Newton, we may actually have {\it empirical evidence} that time, and thus space as well, are not Archimedean. Part 2 : There is an insufficient awareness about the {\it rich and complex} structure of various totally ordered scalar fields obtained through the {\it ultrapower} construction. This rich and complex structure comes from the presence of {\it infinitesimals} in such fields, presence which leads to the fact that such fields are {\it non-Archimedean}. Here, with the concept of {\it walkable world}, which has highly intuitive and pragmatic geometric meaning, the mentioned rich and complex structure is illustrated. The issues presented have relevance for what are usually called the "infinities in physics".

研究の動機と目的

• 2000年以上にわたり、時空モデルにおけるアーベルの公理の暗黙の受容を是とするものであり、物理的および数学的直観を制限してきた。
• 微積分、特に無限小量の歴史的使用が、物理理論における非アーベル的構造の検討に実証的根拠を提供することを主張する。
• 非アーベル的時空モデルを構築するための非標準解析の代替として、縮小されたべき代数（RPA）がより単純で直感的な代替手段を提供することを示す。
• PAG（純粋絶対幾何学）によるアーベルの公理の拒否が、時空を人工的な制限から解放し、より豊かな幾何学的および物理的構造を可能にすることを示す。
• 物理における「無限大の問題」を、非アーベル的体に通常の要素として埋め込むことで解決し、代数的演算が制限なく行われることを示す。

提案手法

• フィルターとイデアルによる実数の超べきを用いて、RPA（縮小されたべき代数）の基礎をなす非アーベル的体を構成する。
• 正のサイズuを持つ有限回のステップでtから到達可能な点の集合として、'歩ける世界' $WW(t,u)$ を定義し、非アーベル的構造における離散的到達可能性をモデル化する。
• 順序同型を用いて、すべての $WW(t,u)$ が構造的に同値であるが、$\mathbb{F}_{\cal U}$ 全体に対して無限小的部品であることを示す。これは $\mathbb{R}$ とは対照的である。
• 歩ける世界の相対的構造を分析し、等価性、非交差性、無限のネストの3つのケースを区別することで、アーベル的システムにない複雑な階層構造が明らかになる。
• アーベル的実数直線 $\mathbb{R}$ では $WW(0,1) = \mathbb{R}$ であるのに対し、非アーベル的体では $WW(t,u) \ll \mathbb{F}_{\cal U}$ であることを示し、アーベルの公理がもたらす構造的制限を明らかにする。
• 非アーベル的体では、'無限大'は通常の要素であり、代数的に適切に扱えるため、物理学における恣意的な正則化の必要がなくなる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微積分における無限小量の歴史的使用は、時空の非アーベル的構造を示す実証的根拠と解釈できるか？
• RQ2 幾何学的および物理的理論においてアーベルの公理を拒否することの構造的結果は何か？
• RQ3 非アーベル的体における歩ける世界 $WW(t,u)$ の挙動は、実数直線 $\mathbb{R}$ におけるものとどのように異なるか？
• RQ4 縮小されたべき代数（RPA）は、非アーベル的時空をモデル化するための非標準解析のより単純で直感的な代替手段を提供できるか？
• RQ5 非アーベル的枠組みは、標準的場理論が直面する「物理学における無限大の問題」をどのように解決するか？

主な発見

• アーベルの公理は、時空を1つの歩ける世界 $WW(0,1) = \mathbb{R}$ に制限するが、非アーベル的体 $\mathbb{F}_{\cal U}$ には無限に多くの歩ける世界が存在し、それぞれが全体の無限小的部分である。
• 非アーベル的体では、すべての $t,u \in \mathbb{F}_{\cal U}, u>0$ に対して $WW(t,u)$ は $\mathbb{F}_{\cal U}$ 全体に対して無限小的部分集合である。これは $\mathbb{R}$ とは対照的であり、$WW(0,1) = \mathbb{R}$ である。
• 非アーベル的体における歩ける世界は無限にネスト可能であり、ある世界が別の世界の無限小的部分である構造が可能である。これはアーベル的システムでは不可能である。
• 商環とフィルターによるRPAの構成は、非標準解析を必要とせず、非アーベル的構造へのより単純で直接的な道筋を提供する。
• 物理学における無限大および無限小量は、非アーベル的枠組みでは問題ではない。これらは通常の要素であり、制限なく代数的演算が可能である。
• PAG（純粋絶対幾何学）によるアーベルの公理の拒否は、時空の数学的および物理的記述を人工的な制限から解放し、より豊かで自然なモデルを可能にする。