[論文レビュー] Surprising Properties of Non-Archimedean Field Extensions of the Real Numbers

Elemér E Rosinger|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2009

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 4被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、実数の非アルキメデス的拡張を、無限小量と無限大の要素を用いて、素朴で新しい超冪構成法により導入し、自己相似構造を明らかにした。これらの体は、無限小量（モノード）の集合が無限大の数の集合と同じくらい複雑であるという複雑で再帰的な幾何構造を示しており、物理学および数学における実数直線の一意性という基礎的仮定に疑問を呈する。

ABSTRACT

It is a rather universal tacit and unquestioned belief - and even more so among physicists - that there is one and only one set of real scalars, namely, the one given by the usual field $\mathbb{R}$ of real numbers, with its usual linear order structure on the geometric line. Such a dramatically limiting and thus harmful belief comes, unknown to equally many, from the similarly tacit acceptance of the ancient Archimedean Axiom in Euclid's Geometry. The consequence of that belief is a similar belief in the uniqueness of the field $\mathbb{C}$ of complex numbers, and therefore, of the various spaces, manifolds, etc., be they finite or infinite dimensional, constructed upon the real or complex numbers, including the Hilbert spaces used in Quantum Mechanics. An near total lack of awareness follows about the {\it rich self-similar} structure of various linearly ordered scalar fields obtained through the {\it ultrapower} construction which extend the usual field $\mathbb{R}$ of real numbers. Such {\it ultrapower field} extensions contain as a rather small subset the usual field $\mathbb{R}$ of real numbers. The rich self-similar structure of such field extensions is due to {\it infinitesimals}, and thus also of {\it infinitely large} elements in such fields, which make such fields {\it non-Archimedean}. With the concept of {\it walkable world}, which has highly intuitive and pragmatic algebraic and geometric meaning, the mentioned rich self-similar structure is illustrated. The ultrapower fields presented can have a wide ranging relevance in Physics, among others, for a proper treatment of what are usually called the "infinities in Physics". The ultrapower construction which gives such non-Archimedean fields is rather simple and elementary, requiring only 101 Algebra.

研究の動機と目的

• 幾何学および物理学におけるスカラー体としての実数Rが唯一の妥当な選択肢であるという広く一般的な仮定に挑戦すること。
• 超冪構成法が、無限小量と無限大の要素のおかげで自己相似構造が豊富な線形順序体をRの拡張として得られることを示すこと。
• 非アルキメデス的体の自己相似構造を直感的かつ幾何的代数的ツールとして理解できる「歩ける世界（walkable world）」の概念を導入すること。
• 現在の物理学における数学的モデル、特に「無限大」を含むもの—これらはRのアルキメデス性に依存しているため、限界があることの主張。
• 非アルキメデス的体が物理現象をよりよくモデル化でき、量子論および相対性理論における新しい概念的展開を可能にすることの提言。

提案手法

• 非主な超フィルターを用いて、実数列の同値類による非アルキメデス的体の構成。
• 体 $\mathbb{F}_{\cal U}$ を $\mathbb{R}$ の超冪として定義し、これは $\mathbb{R}$ の真部分体であり、無限小量と無限大の要素を含む。
• ゼロのまわりの無限小量の集合としての「モノード」$\operatorname{mon}(0)$ の概念を導入し、その代数的および順序論的豊かさを示す。
• 体の部分集合間の順序反転双対写像を確立し、例えば $\mathbb{F}_{\cal U} \setminus \operatorname{Gal}(0)$ と $\bigcup_{r,\lambda} (r \pm s_\lambda + \operatorname{mon}(0))$ の間で、自己相似性を明らかにする。
• 写像 $s \mapsto 1/s$ を用いて、拡張直線上の領域間で明示的かつ代数的・順序反転双対写像を定義し、$\mathbb{R}$ よりもはるかに豊かな構造に類似したが、それ以上に豊かである。
• 極限の計算的および認知的妥当性が、時間モノードに裏付けられている可能性を提言し、古典的時間モデルの代わりに非アルキメデス的時間構造を提示。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形順序を保ちつつ、無限小量と無限大の要素を含むように実数直線を拡張する方法は何か？
• RQ2 実数 $\mathbb{R}$ の超冪体拡張 $\mathbb{F}_{\cal U}$ の幾何学的および代数的構造は何か？
• RQ3 特にゼロのモノードにおける $\mathbb{F}_{\cal U}$ の自己相似構造は、$\mathbb{R}$ のアルキメデス的構造とどのように異なるか？
• RQ4 「歩ける世界」という概念が、非アルキメデス的幾何の理解に直感的かつ厳密なフレームワークを提供できるか？
• RQ5 非アルキメデス的体は、「物理学における無限大」のモデル化および量子力学と相対性理論の基礎的概念にどのような影響を及ぼすか？

主な発見

• 超冪構成法により、$\mathbb{R}$ を真に拡張する線形順序体 $\mathbb{F}_{\cal U}$ が得られ、無限小量と無限大の両方を含む。
• 超冪構成法が誘発する自己相似構造のおかげで、無限小量の集合 $\operatorname{mon}(0)$ とすべての無限大の数の集合 $\mathbb{F}_{\cal U} \setminus \operatorname{Gal}(0)$ は同じ複雑さを持つ。
• 写像 $s \mapsto 1/s$ による順序反転双対写像は、$\operatorname{mon}(0)$ の非可算個の平行移動を、ガロア集合の補集合へ写像し、体構造における深い対称性を明らかにする。
• $\mathbb{F}_{\cal U}$ の自己相似性は、$\mathbb{R}$ よりもはるかに豊かであり、$\mathbb{R}$ では $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ と $[-1,1] \setminus \{0\}$ のみが関係づけられるのに対し、$\mathbb{F}_{\cal U}$ ではその構造がはるかに豊かである。
• このような体の存在は、無限大や無限精度を含む物理現象のモデル化に、標準的な実数直線が唯一の適切な選択肢ではないことを示唆する。
• 本論文は、極限の計算的および認知的妥当性が時間モノードに裏付けられている可能性を提言し、古典的時間モデルの代わりに非アルキメデス的時間構造を提示する。