[論文レビュー] What Separable Frobenius Monoidal Functors Preserve

Micah Blake McCurdy, Ross Street|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、分離的フロベニウスモノイダル関手によって保存されるモノイダル式を特徴づけ、それらが共役作用に関して安定し、ラックスヤン・バクスター作用素、弱ヤン・バクスター作用素、およびブラケット付き圏における弱バイモノイドを保存することを示している。主な貢献は、共役作用に関する安定性を用いた保存構造の幾何的特徴づけであり、任意の弱ヤン・バクスター作用素が、このような関手の下で真のヤン・バクスター作用素の像として得られることの証明である。

ABSTRACT

Separable Frobenius monoidal functors were defined and studied under that name by Szlachanyi and by Day and Pastro, and in a more general context by Cockett and Seely. Our purpose here is to develop their theory in a very precise sense. We determine what kinds of equations in monoidal categories they preserve. For example we show they preserve lax (meaning not necessarily invertible) Yang-Baxter operators, weak Yang-Baxter operators in the sense of Alonso Alvarez et al., and (in the braided case) weak bimonoids in the sense of Pastro and Street. In fact, we characterize which monoidal expressions are preserved (or rather, are stable under conjugation in a well-defined sense). We show that every weak Yang-Baxter operator is the image of a genuine Yang-Baxter operator under a separable Frobenius monoidal functor. Prebimonoidal functors are also defined and discussed.

研究の動機と目的

• モノイダル圏における分離的フロベニウスモノイダル関手の明確な理論を構築すること。
• これらの関手によって保存される（すなわち共役作用に関して安定する）モノイダル式を幾何的に特徴づけること。
• このような関手が、ブラケット付きの場合にラックスヤン・バクスター作用素、弱ヤン・バクスター作用素、および弱バイモノイドを保存することを示すこと。
• 前バイモノイダル関手を一般化として導入し、分離的フロベニウス関手と関連付けること。
• 任意の弱ヤン・バクスター作用素が、分離的フロベニウスモノイダル関手の下で真のヤン・バクスター作用素の像として実現可能であることを示すこと。

提案手法

• 論文は、n > 0 に対して合成 ψ∘ϕ が恒等写像であるような、モノイダル構造とオプモノイダル構造が両立する関手として、分離的フロベニウスモノイダル関手を定義する。
• 複数のテンソル積間の射に対して、φ および ψ 構造を用いて、ドメイン圏内の式をコドメイン圏に写像する F-共役を導入する。
• モノイダル圏を厳密なものとみなすことで、テンソル式の操作を簡略化するため、整合性定理を用いる。
• 可換図式（例えば、図9および図10）を用いて、ヤン・バクスター作用素の F-共役が適切に定義され、構造を保存することを証明する。
• ブラケット付きモノイダル圏間の前バイモノイダル関手を定義し、強いモノイダル関手が、かつそれがブラケット的であるときに限り前バイモノイダルであることを証明する。
• 分離的フロベニウス関手は合成可能であり、共役作用および安定性を通じて弱バイモノイド構造と関連していることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離的フロベニウスモノイダル関手は、F-共役作用の下で、どのモノイダル式を保存するか？
• RQ2 分離的フロベニウスモノイダル関手は、ラックスおよび弱ヤン・バクスター作用素の保存に関して、どのように関連しているか？
• RQ3 ブラケット付きモノイダル圏において、前バイモノイダル関手と分離的フロベニウス関手の関係は何か？
• RQ4 任意の弱ヤン・バクスター作用素は、このような関手の下で真のヤン・バクスター作用素の像として実現可能か？
• RQ5 強いモノイダル関手が前バイモノイダルであるための条件は何か？そしてこれはブラケット構造とどのように関連しているか？

主な発見

• 分離的フロベニウスモノイダル関手はラックスヤン・バクスター作用素を保存する。これは、作用素が可逆である必要がないことを意味する。
• また、[2]における弱ヤン・バクスター作用素についても保存され、厳密な構造を超える保存構造のクラスを拡張している。
• ブラケット付きの場合、これらの関手は[12]で定義された弱バイモノイドを保存する。これは、一般化されたバイアリズム的構造への応用の有効性を示している。
• 任意の弱ヤン・バクスター作用素は、分離的フロベニウスモノイダル関手の下で、真のヤン・バクスター作用素の F-共役として得られる。
• ブラケット付きモノイダル圏間の強いモノイダル関手は、かつそれがブラケット的であるときに限り前バイモノイダルである。これにより、これらの概念の明確な関連が確立される。
• モノイダル（またはオプモノイダル）関手の下で、モノイド（またはコモノイド）の F-共役は再びモノイド（またはコモノイド）である。これは既知の結果の一般化である。