[論文レビュー] Yang-Baxter algebras as convolution algebras: The Grassmannian case

Vassily Gorbounov, Christian Korff+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ヤン＝バクスター代数の幾何的実現を、グラスマンニアンの等化コホモロジーにおける畳み込み代数として確立し、シューベルト計算から得られるR行列がヤン＝バクスター方程式を満たすことを示している。主な結果は、これらの代数が$\tau\mathfrak{gl}_2[t]$の商として得られることであり、トENSOR積の$\mathbb{C}^2[t]$-表現への明示的な作用が、トートロジカルバンドルのチャーン類によって与えられることである。

ABSTRACT

We present a simple but explicit example of a recent development which connects quantum integrable models with Schubert calculus: there is a purely geometric construction of solutions to the Yang-Baxter equation and their associated Yang-Baxter algebras which play a central role in quantum integrable systems and exactly solvable lattice models in statistical physics. We consider the degenerate five-vertex limit of the asymmetric six-vertex model and identify its associated Yang-Baxter algebra as convolution algebra arising from the equivariant Schubert calculus of Grassmannians. We show how our method can be used to construct (Schur algebra type) quotients of the current algebra $\mathfrak{gl}_2[t]$ acting on the tensor product of copies of its evaluation representation $\mathbb{C}^2[t]$. Finally we connect it with the COHA for the $A_1$-quiver.

研究の動機と目的

• グラスマンニアンの等化コホモロジーにおける畳み込み代数を用いて、ヤン＝バクスター代数の幾何的構成を確立すること。
• シューベルト計算から導かれるR行列が、トーラス固定点基底とシューベルト基底の間の移行行列を通じてヤン＝バクスター方程式を満たすことを示すこと。
• 退化五頂点模型を、$\mathfrak{gl}_2[t]$の現在代数の商として、$\mathbb{C}^2[t]$-表現のテンソル積への作用として実現すること。
• 幾何的ヤン＝バクスター代数と$A_1$-クオーバーのCOHA（コホモロジカルホール代数）の間の関係を確立すること。
• 固定点基底ベクトルへの生成子の作用の明示的公式を、チャーン類比を用いて提示すること。

提案手法

• R行列を、$H^*_T(\mathrm{Gr}(k,N))$におけるシューベルト基底とトーラス固定点基底の間の移行行列として構成する。
• R行列から$\mathrm{RTT} = \mathrm{TTR}$構成を用いて、二つの同型なヤン＝バクスター代数を生成する。
• フラッグ多様体に沿ったプッシュプル操作を通じて、グラスマンニアン上の畳み込み代数の部分代数として代数を実現する。
• 演算子$\gamma_j^\pm$の作用を、トートロジカルバンドルのチャーン類の乗算およびインシデント多様体に沿ったプッシュフォワードと特定する。
• 射影公式および適切な基底変換を用いて、コホモロジーにおけるヤン＝バクスター代数の関係を検証する。
• 生成子が$\mathfrak{gl}_2[t]$-表現を介して作用することを示すことにより、幾何的ヤン＝バクスター代数と$A_1$-クオーバーのCOHAの間の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラスマンニアンのシューベルト計算から得られるR行列を、畳み込み代数を用いてヤン＝バクスター代数を構成するのに利用できるか？
• RQ2 退化五頂点模型は、幾何的設定において現在代数$\mathfrak{gl}_2[t]$とどのように関係しているか？
• RQ3 ヤン＝バクスター代数の生成子の作用が、グラスマンニアンの等化コホモロジーに明示的にどのように現れるか？
• RQ4 トートロジカルバンドルおよび商バンドルのチャーン類によって変換された二つの同型なヤン＝バクスター代数は、幾何的にどのように関係しているか？
• RQ5 表現論的作用を通じて、幾何的構成を$A_1$-クオーバーのCOHAと結びつけることができるか？

主な発見

• シューベルト基底とトーラス固定点基底の間の移行から得られるR行列は、$H^*_T(\mathrm{Gr}(k,N))$においてヤン＝バクスター方程式を満たす。
• 幾何的ヤン＝バクスター代数は、グラスマンニアン上の畳み込み代数の部分代数として実現され、固定点基底への作用がインシデント多様体に沿ったプッシュプルによって与えられる明示的生成子$\gamma_j^\pm$を持つ。
• $\gamma_j^\pm$の固定点基底への作用は、等化パラメータ$t_i$の有理関数として与えられ、$t_i^j / (t_i - t_r)$の積を含む明示的公式を持つ。
• 生成子$\gamma_j^\pm$は、チャーン類とプッシュフォワードから構成されたことにより、ヤン＝バクスター代数$\mathcal{YB}_N$に含まれる。
• 作用は等化設定に持ち上げられ、演算子の$S_N$-不変性が保たれる。
• $\mathfrak{gl}_2[t]$の生成子$a_{21} \otimes t^k$および$a_{12} \otimes t^k$の$\mathbb{C}^2[t]^{igotimes N}$への作用は、幾何的ヤン＝バクスター代数を通じて因子化され、商構造が確立される。