[논문 리뷰] A categorical model for a quantum circuit description language

Francisco Franklin Sousa Rios, Peter Selinger|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 08.

Formal Methods in Verification인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 대칭 모나드 카테고리에서 매개변수와 상태의 범주론적 모델에 기반한 유형 안전한 양자 회로 기술 언어인 Proto-Quipper-M을 소개한다. Quipper의 일부를 의미론적 및 작동론적 의미론으로 형식화하여, 어떤 대칭 모나드 카테고리에서든 안전하고 일반적인 양자 회로와 다른 사상의 기술을 가능하게 하며, 유형 안전성, 타당성, 적합성의 증명을 보장한다.

ABSTRACT

Quipper is a practical programming language for describing families of quantum circuits. In this paper, we formalize a small, but useful fragment of Quipper called Proto-Quipper-M. Unlike its parent Quipper, this language is type-safe and has a formal denotational and operational semantics. Proto-Quipper-M is also more general than Quipper, in that it can describe families of morphisms in any symmetric monoidal category, of which quantum circuits are but one example. We design Proto-Quipper-M from the ground up, by first giving a general categorical model of parameters and state. The distinction between parameters and state is also known from hardware description languages. A parameter is a value that is known at circuit generation time, whereas a state is a value that is known at circuit execution time. After finding some interesting categorical structures in the model, we then define the programming language to fit the model. We cement the connection between the language and the model by proving type safety, soundness, and adequacy properties.

연구 동기 및 목표

• 대칭 모나드 카테고리에서 양자 회로의 가족과 사상의 안전하고 일반적인 언어를 형식화하는 것.
• 회로 생성 시점에 알려진 매개변수와 실행 시점에 알려진 상태 사이의 구분을 하드웨어 기술 관행을 반영하여 명시하는 것.
• 매개변수화되고 상태를 갖는 양자 회로의 핵심 구조를 포괄하는 범주론적 모델을 개발하는 것.
• 언어가 의미론적 의미론에 대해 유형 안전성, 타당성, 적합성을 보장하도록 하는 것.
• 양자 회로를 초월해 어떤 대칭 모나드 카테고리에서도 적용 가능한 일반화를 위해 Quipper를 추상화하는 것.

제안 방법

• 매개변수를 외부 값으로, 상태를 내부 회로 데이터로 간주하는 대칭 모나드 카테고리 기반의 매개변수와 상태의 범주론적 모델 설계.
• 범주론적 모델에 기반한 Proto-Quipper-M의 형식적 문법과 유형 체계 정의로, 초기 단계부터 유형 안전성을 보장.
• 언어 표현식을 대칭 모나드 카테고리의 사상으로 매핑하는 함자적 해석을 통한 의미론적 의미론 수립.
• 프로그램 평가를 위한 소단계 감소 시스템을 통한 작동론적 의미론 정의.
• 핵심 메타이론적 성질 증명: 유형 안전성, 타당성(감소 과정에서 유형이 유지됨), 적합성(구문과 의미론 간의 완전한 추상화).
• 텐서 곱, 내부 환류, 자연 변환과 같은 범주론적 구성요소를 사용해 매개변수화되고 상태를 갖는 계산을 모델링.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 양자 회로 기술 언어를 형식적으로 유형 안전하게 만들 수 있으며, 同시에 일반성을 유지할 수 있는가?
• RQ2 회로 생성과 실행 시점에서 매개변수와 상태의 구분을 모델링하기 위해 필요한 범주론적 구조는 무엇인가?
• RQ3 의미론적 및 작동론적 추론을 모두 지원하는 Quipper의 일부에 대해 형식적 의미론을 구성할 수 있는가?
• RQ4 언어를 양자 회로를 초월해 다른 대칭 모나드 카테고리로 일반화할 수 있는가?
• RQ5 유형 안전성 및 적합성과 같은 메타이론적 성질은 이러한 언어에 대해 어떤 방식으로 증명할 수 있는가?

주요 결과

• Proto-Quipper-M은 형식적으로 유형 안전하여, 잘 유형화된 프로그램은 실행 중에 오류가 나지 않는다.
• 언어의 의미론적 의미론은 타당하여, 감소 과정이 유형과 의미론적 동치성을 유지함을 의미한다.
• 적합성이 증명되어, 구문적 모델과 의미론적 모델이 서로의 행동을 완전히 포괄함을 보여준다.
• 범주론적 모델은 매개변수와 상태의 구분을 성공적으로 포착하여, 회로 생성 및 실행의 정확한 모델링을 가능하게 한다.
• 언어는 양자 회로를 초월해 어떤 대칭 모나드 카테고리의 사상 가족도 기술할 수 있을 정도로 일반적이다.
• 형식화는 강력한 이론적 보장을 갖춘 검증된 고수준의 양자 프로그래밍 언어를 구축하기 위한 기반을 제공한다.