[논문 리뷰] A-infinity functors and homotopy theory of dg-categories

Giovanni Faonte|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 03.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Töen의 dg-카테고리에 대한 유도된 강화—우측 준표현가능한 이모듈러스를 통한 정의—가 A∞-함수들의 dg-카테고리와 동형임을 증명하며, Kontsevich의 추측을 확인한다. 또한 A∞-네비를 통해 dg-카테고리와 A∞-카테고리의 (∞,2)-카테고리를 구성하고, dg-카테고리 (∞,2)-카테고리의 (∞,1)-카테고리 단절이 Tabuada의 모델 구조의 Dwyer-Kan 국소화를 모델링함을 보인다.

ABSTRACT

In this paper we prove that Toen's derived enrichment of the model category of dg-categories defined by Tabuada, is computed by the dg-category of A-infinity functors. This approach was suggested by Kontsevich. We further put this construction into the framework of (infinity,2)-categories. Namely, we enhance the categories of dg and A-infinity categories, to (infinity,2)-categories. We prove that the (infinity,1)-truncation of to the (infinity,2)-category of dg-categories is a model for the simplicial localization at the model structure of Tabuada. As an application, we prove that the homotopy groups of the mapping space of endomorphisms at the identity functor in the (infinity,2)-category of A-infinity categories compute the Hochschild cohomology.

연구 동기 및 목표

• Töen의 dg-카테고리에 대한 유도된 강화가 A∞-함수들의 dg-카테고리와 동형임을 증명함으로써 Kontsevich의 추측을 확인한다.
• A∞-네비 구성법을 사용하여 dg-카테고리와 A∞-카테고리의 (∞,2)-카테고리를 정의한다.
• dg-카테고리 (∞,2)-카테고리의 (∞,1)-카테고리 단절이 Tabuada의 모델 구조에서의 Dwyer-Kan 국소화를 모델링함을 보인다.
• A∞-카테고리 (∞,2)-카테고리 내에서의 자기 사상 맵 공간의 호모토피 군이 Hochschild 코homology를 계산함을 확립한다.
• Quillen 동치와 바 건축을 통해 dg-이모듈러스와 A∞-이모듈러스를 연결하여, 이 모델들 사이의 호모토피적 다리를 제공한다.

제안 방법

• 논문 [4]의 A∞-네비 구성법을 사용하여 dgCat와 A∞Cat를 (∞,2)-카테고리로 확장한다.
• 모르피즘 공간이 A∞(C,D)의 A∞-네비로 주어지는, dg-카테고리 위에 있는 전부의 부분카테고리인 (∞,2)-카테고리 dgCat_{(∞,2)}를 정의한다.
• dg-카테고리에 바 건축을 적용하여 dg-코카테고리를 얻고, 코homological 도구의 사용을 가능하게 한다.
• 비가역적 난이도가 있는 와이어드 코체인을 통해 dg-이모듈러스와 A∞-이모듈러스 사이의 Quillen 동치를 확립하며, 국소화에 대한 동치를 유도한다.
• 바 건축과 코homological 해상도를 통해 A∞-함수들의 dg-카테고리와 유도된 맵 공간 카테고리 사이의 자연적 동형을 구성한다.
• Tabuada의 모델 구조의 Dwyer-Kan 국소화를 사용하고, 약한 호모토피 동치를 통한 맵 공간 비교를 통해 (∞,1)-단절된 (∞,2)-카테고리와 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Töen의 dg-카테고리에 대한 유도된 강화는 A∞-함수들의 dg-카테고리와 동치인가?
• RQ2 A∞-함수 카테고리의 A∞-네비를 사용하여 A∞-카테고리의 (∞,2)-카테고리를 구성할 수 있는가?
• RQ3 dg-카테고리 (∞,2)-카테고리의 (∞,1)-카테고리 단절은 Tabuada의 모델 구조의 Dwyer-Kan 국소화를 모델링하는가?
• RQ4 A∞-카테고리 (∞,2)-카테고리 내에서의 자기 사상 공간의 호모토피 군은 Hochschild 코homology를 계산하는가?
• RQ5 바 건축과 유도된 강화를 존중하는 dg-이모듈러스와 A∞-이모듈러스 사이의 Quillen 동치가 존재하는가?

주요 결과

• Töen이 정의한 dg-카테고리의 유도된 강화는 자연스럽게 A∞-함수들의 dg-카테고리와 동형이다: Ho(dgCat) 내에서 RHom(D,E) ≅ A∞(D,E).
• A∞(C,D)의 A∞-네비를 통한 구성으로 (∞,2)-카테고리 dgCat_{(∞,2)}가 구성되며, 이에 대한 모르피즘 공간은 N_{A∞}(A∞(C,D))로 주어진다.
• dgCat_{(∞,1)} = dgCat_{(∞,2)}^∘는 Tabuada의 모델 구조의 Dwyer-Kan 국소화를 모델링하는 것으로, 맵 공간 간의 약한 호모토피 동치를 갖는다.
• A∞Cat_{(∞,2)} 내에서 항등 함수에서의 자기 사상 맵 공간의 호모토피 군은 Hochschild 코homology를 계산한다.
• dg-이모듈러스와 A∞-이모듈러스의 모델 카테고리 사이에 바 건축과 비가역적 와이어드 코체인을 통해 매개되는 Quillen 동치가 존재한다.
• 바 건축은 dg-카테고리 D,E에 대해 dg-카테고리의 동형사상 B(D,E): C∞(D,E) ≅ CoMod(B+(D), B+(E))를 유도하며, 이는 이모듈러스 모델들 사이의 호모토피적 다리를 제공한다.