[논문 리뷰] A Local Resolution of the Problem of Time. VII. Constraint Closure

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 09.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 53인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 일반 공변 이론의 프레임워크 내에서 시간적 및 구성적 상대성 이론을 일관되게 다루기 위해 디랙 알고리즘의 변형인 TRi-디랙 알고리즘을 소개한다. 라그랑주 승수 대신 순환 미분형을 사용하고, 미분 해밀토니안과 반-루스 양함수를 활용함으로써, 배경 독립성과 일치하는 약속 대수적 구조를 유지함으로써, 배경 독립성과 일치하는 약속 대수적 구조를 유지함으로써, 제약 닫힘 문제를 상대론적으로 해결한다.

ABSTRACT

We now set up Constraint Closure in a manner consistent with Temporal and Configurational Relationalism. This requires modifying the Dirac Algorithm - which addresses the Constraint Closure Problem facet of the Problem of Time piecemeal - to the TRi-Dirac Algorithm. This is a member of the wider class of Dirac-type algorithms that enjoys the property of being Temporal Relationalism implementing (TRi). Constraint algebraic structures ensue. We include examples of types of constraint, outcomes of the Dirac Algorithm and different kinds of Constraint Closure Problems. Enough new Principles of Dynamics is required to support this venture that an Appendix on it is provided: differential Hamiltonians, anti-Routhians, and the brackets, state spaces and morphisms corresponding to these.

연구 동기 및 목표

• 일반 공변 이론에서 제약 닫힘 문제를 해결하면서도 시간적 및 구성적 상대성 이론과의 일관성을 유지하기 위해.
• 기존 디랙 알고리즘을 배경 독립성을 유지하는 상대론적 프레임워크로 확장하기 위해 새로운 알고리즘 구조를 도입하기 위해.
• 미분 해밀토니안, 반-루스 양함수, 혼합 푸아송-페일러 브라켓을 사용하여 일관된 동역학 형식을 개발하기 위해.
• 상대론적 제약 조건 하에서 약속 대수적 구조가 닫혀 있고 물리적으로 의미 있는지 보장하기 위해.
• 새로운 유형의 해밀토니안 형식을 통해 상대성 이론과 제약 닫힘을 통합함으로써 양자 중력에 대한 원리적인 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 표준 디랙 알고리즘의 상대론적 확장으로서 TRi-디랙 알고리즘을 제안하며, 라그랑주 승수 대신 순환 미분형을 사용하여 시간적 및 구성적 상대성 이론을 유지한다.
• 핵심 운동량 대상으로서 $\pi$-미분 해밀토니안 ($\mbox{\bf d}\partial$ A-해밀토니안)과 $\mbox{\bf d}\partial$-반-루스 양함수를 도입하며, 이는 반-루스 양함수보다 부호가 하나 더 음수이다.
• Phase space 형태 $Can(\mathfrak{T}^{*}(\mathfrak{q})) \times Point(\mathfrak{g})$ 에서 혼합 푸아송-페일러 브라켓을 사용하여, 캐논리컬 변수에 대한 푸아송 브라켓과 순환 미분형에 대한 페일러 브라켓을 결합한다.
• 모멘텀-변화 관계의 비가역성을 기록하기 위해 $\mbox{\bf d}\partial^{-1}$-레지오프 행렬을 사용하며, 이는 특이 시스템에서 표준 레지오프 행렬을 대체한다.
• 약속에 대해 포트마네오 표기법을 사용하여 유한계 및 장 이론계 시스템에 적용한다: $\mathcal{C} := \mathscr{F}\lfloor\mathbf{Q},\mathbf{P}\rfloor$ (유한계) 및 $\mathcal{F}(\underline{x};\mathbf{Q},\mathbf{P})$ (장 이론).
• 운동 방정식을 $\mbox{\bf d}\partial\mathbf{Q} = \frac{\boldsymbol{\delta}\partial \mathscr{A}}{\boldsymbol{\delta}\partial \mathbf{P}}$, $\mbox{\bf d}\partial\mathbf{P} = -\frac{\boldsymbol{\delta}\partial \mathscr{A}}{\boldsymbol{\delta}\partial \mathbf{Q}}$, 및 $\frac{\boldsymbol{\delta}\partial \mathscr{A}}{\boldsymbol{\delta}\partial \mathbf{d}\partial \mathbf{c}} = 0$ 를 통해 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간적 및 구성적 상대성 이론을 모두 존중하는 상대론적 프레임워크에서 제약 닫힘을 일관되게 어떻게 적용할 수 있는가?
• RQ2 배경 독립성을 유지하면서도 닫힘을 확보하기 위해 디랙 알고리즘에 어떤 수정이 필요한가?
• RQ3 미분 해밀토니안과 반-루스 양함수는 특이 시스템에서 제약을 상대론적으로 다루는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ4 혼합 푸아송-페일러 브라켓은 상대론적 제약 시스템의 위상공간 구조에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 순환 미분형은 제약 진화 과정에서 상대론적 불변성을 유지하기 위해 어떻게 라그랑주 승수를 대체하는가?

주요 결과

• TRi-디랙 알고리즘은 라그랑주 승수를 사용하지 않고도 시간적 및 구성적 상대성 이론과 완전히 일치하는 방식으로 제약 닫힘을 성공적으로 구현한다.
• $\mbox{\bf d}\partial$ A-해밀토니안 형식은 표준 해밀토니안에 대한 상대론적 대안을 제공하며, 제약은 라그랑주 승수 대신 순환 미분형에서 유도된다.
• 혼합 푸아송-페일러 브라켓의 사용은 캐논리컬 및 상대론적 역학과의 호환성을 보장하며, 물리적 부분공간에서 표준 푸아송 브라켓으로 줄어든다.
• $\mbox{\bf d}\partial^{-1}$-레지오프 행렬은 모멘텀-변화 관계의 비가역성을 정확히 기록하여 특이 시스템의 일관된 다루움을 가능하게 한다.
• TRi-디랙 알고리즘 하에서 약속 대수적 구조가 유지되며, $\mathcal{C}_{\text{chronos}}$ 와 $\mathcal{S}_{\text{huffle}}$ 의 상호 및 자기 첫 번째 계열 성질이 상대론적 성공을 결정한다.
• 포트마네오 표기법을 통해 유한계 및 장 이론계 시스템을 통합적으로 다룰 수 있어 제약 닫힘 문제의 체계적 분석이 가능해진다.