[논문 리뷰] Classical symmetries and QAOA

Ruslan Shaydulin, Stuart Hadfield외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 08.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 60인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 목적 함수의 고전적 대칭성과 QAOA의 양자 역학적 동역학 사이의 공식적 연결을 수립하여, 고전적 문제의 대칭성이 QAOA의 측정 확률을 매개변수나 회로 깊이에 관계없이 불변으로 유지함을 보여준다. 또한 그래프의 대칭성 특성만으로도 선형 매개변수 스케줄링 하에서 목표 MaxCut 근사 비율을 달성하기 위한 최소 QAOA 깊이를 예측할 수 있음을 입증한다.

ABSTRACT

We study the relationship between the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) and the underlying symmetries of the objective function to be optimized. Our approach formalizes the connection between quantum symmetry properties of the QAOA dynamics and the group of classical symmetries of the objective function. The connection is general and includes but is not limited to problems defined on graphs. We show a series of results exploring the connection and highlight examples of hard problem classes where a nontrivial symmetry subgroup can be obtained efficiently. In particular we show how classical objective function symmetries lead to invariant measurement outcome probabilities across states connected by such symmetries, independent of the choice of algorithm parameters or number of layers. To illustrate the power of the developed connection, we apply machine learning techniques towards predicting QAOA performance based on symmetry considerations. We provide numerical evidence that a small set of graph symmetry properties suffices to predict the minimum QAOA depth required to achieve a target approximation ratio on the MaxCut problem, in a practically important setting where QAOA parameter schedules are constrained to be linear and hence easier to optimize.

연구 동기 및 목표

• 목적 함수의 고전적 대칭성과 QAOA 동역학에서의 양자 대칭성 특성 간의 관계를 공식화하는 것.
• 고전적 대칭성이 알고리즘 매개변수나 회로 깊이에 관계없이 QAOA 측정 결과 확률을 제약하는 방식을 규명하는 것.
• 그래프의 대칭성 특성이 제약된 최적화 설정에서 QAOA 성능 예측 기능으로 기능할 수 있는지 조사하는 것.
• 선형 매개변수 스케줄링 하에서 대칭성 특징에 기반한 기계학습 모델의 성능을 평가하여, 목표 근사 비율을 달성하기 위해 필요한 최소 QAOA 깊이를 예측하는 데의 효과를 평가하는 것.
• 선형 매개변수 스케줄링 하에서 대칭성 기반 예측의 실용적 유용성을 입증하는 것.

제안 방법

• 목적 함수의 고전적 대칭성 군과 QAOA 유니터리 진동의 양자 대칭성 특성 간의 연결을 공식화하는 것.
• QAOA 매개변수나 층 수에 관계없이 고전적 대칭성에 의해 유도된 변환 하에서 측정 결과 확률이 불변임을 도출하는 것.
• 기계학습 모델의 입력으로 사용하기 위해 그래프 대칭성 특징(예: 자동형군 성질)을 추출하는 것.
• 대칭성 특징에 기반한 지도 학습 기계학습 모델을 훈련시켜 목표 MaxCut 근사 비율에 도달하기 위해 필요한 최소 QAOA 층 수를 예측하는 것.
• QAOA 매개변수 스케줄링을 선형 함수로 제한하는 제약 조건 하에서 모델을 적용하여 최적화를 단순화하고 실용성을 향상시키는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 목적 함수의 고전적 대칭성이 QAOA의 양자 역학적 동역학과 측정 결과에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 그래프의 자동형군 성질이 MaxCut의 목표 근사 비율을 달성하기 위해 필요한 최소 QAOA 깊이를 예측할 수 있는가?
• RQ3 선형 매개변수 스케줄링 하에서 대칭성 기반 특징이 다른 특징보다 얼마나 뛰어나게 QAOA 성능을 예측하는가?
• RQ4 고전적 대칭성에 의한 변환 하에서 측정 결과 확률의 불변성이 QAOA 매개변수나 회로 깊이에 관계없이 항상 성립하는가?
• RQ5 대칭성 특징에 기반한 기계학습 모델이 대칭성 구조가 다른 다양한 MaxCut 인스턴스 간에 일반화 가능한가?

주요 결과

• 목적 함수의 고전적 대칭성이 QAOA 측정 결과 확률에 영향을 미치며, 이는 층 수나 매개변수 선택과 관계없이 항상 유지된다.
• 특히 자동형군과 관련된 소수의 그래프 대칭성 특성만으로도 목표 MaxCut 근사 비율을 달성하기 위한 최소 QAOA 깊이를 예측하는 데 충분하다.
• 수치적 증거는 선형 QAOA 매개변수 스케줄링 하에서도 대칭성 기반 기계학습 모델이 강력한 예측 성능을 보임을 보여준다.
• 모든 QAOA 매개변수 값과 회로 깊이에서 대칭성 변환 하에서 측정 결과 확률의 불변성이 보편적으로 성립한다.
• 제안된 대칭성 기반 접근법은 전체 회로 최적화가 필요 없이 QAOA 성능을 효율적으로 예측할 수 있게 하여 실용적 환경에서 계산 비용을 감소시킨다.
• 결과적으로 대칭성 고려가 구조화된 최적화 문제에서 QAOA 성능 예측을 위한 강력하고 저차원의 대체 지표로 기능할 수 있음을 보여준다.