[논문 리뷰] Development and Application of the Fourier Method to the Mean-Square Approximation of Iterated Ito and Stratonovich Stochastic Integrals

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 25인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 비상수 성분을 가진 이토 SDE의 수치적 통합을 가능하게 하기 위해, 임의의 차수의 반복 이토 및 스트라토노비치 확률적 적분에 대한 푸리에 기반 평균제곱근 근사 방법을 개발한다. 이는 일반화된 다중 푸리에 급수—특히 레지엔드르 및 삼각 급수—를 사용한다. 평균제곱근 오차의 정확한 및 근사적인 표현식을 유도하며, 임의의 차수 k에 대한 반복 이토 적분과 최대 차수 6까지의 스트라토노비치 적분에 대해 명시적인 전개식을 제공한다.

ABSTRACT

The article is devoted to the mean-square approximation of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals in the context of the numerical integration of Ito stochastic differential equations. The expansion of iterated Ito stochastic integrals of arbitrary multiplicity $k$ $(k\in\mathbb{N})$ and expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 1 to 6 have been obtained. Considerable attention is paid to expansions based on multiple Fourier-Legendre series. The exact and approximate expressions for the mean-square error of approximation of iterated Ito stochastic integrals are derived. The results of the article will be useful for numerical integration of Ito stochastic differential equations with non-commutative noise.

연구 동기 및 목표

• 이토 확률미분방정식(SDE)의 수치적 해법에서 발생하는 반복 이토 및 스트라토노비치 확률적 적분에 대한 강력한 평균제곱근 근사 방법을 개발하기 위해.
• 고차수 반복 적분을 위해 일반화된 다중 푸리에 급수, 특히 다중 푸리에-레지엔드르 및 삼각 급수를 사용하여 기존 근사 기법을 확장하기 위해.
• 근사의 평균제곱근 오차에 대한 정확한 및 근사적인 표현식을 도출하여, 수치적 방법의 정확도를 정량적으로 평가할 수 있도록 하기 위해.
• 임의의 차수 k에 대한 반복 이토 적분과 최대 차수 6까지의 스트라토노비치 적분에 대해 명시적인 전개식을 제공하여 실용적 구현을 지원하기 위해.
• 제안된 근사 프레임워크와 웡-자카이 유형의 근사 간의 관계를 수립하여, 기존 확률적 해석학 결과와의 일致성을 검증하기 위해.

제안 방법

• Hilbert 공간 $ L_2([t,T]) $ 내에서 일반화된 다중 푸리에 급수 전개를 사용하여 반복 이토 및 스트라토노비치 확률적 적분을 표현한다.
• 기저 함수로 완전한 orthonormal 체계—특히 레지엔드르 다항식과 삼각 함수—를 사용하여 푸리에 급수 분해를 수행한다.
• 진짜 적분과 그 푸리에 근사 간의 차이의 $ L_2 $-노름을 사용하여 근사의 평균제곱근 오차에 대한 정확한 표현식을 도출한다.
• 모든 $ L_2([t,T]) $ 내의 완전한 orthonormal 체계에 대해 유효한 일반화된 프레임워크를 제안하며, 정리 2 및 3를 더 넓은 함수 클래스로 확장한다.
• 이토 및 스트라토노비치 적분 간의 관계를 활용하여, 크로네커 델타를 포함하는 보정 항을 통해 스트라토노비치 전개를 이토 표현식에서 유도한다.
• 근사의 수렴성을 $ \text{l.i.m.} $ (평균제곱근에서의 극한)을 통해 검증하며, 푸리에 항의 수나 근사 매개변수가 무한히 증가할 때 성립함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 차수 $ k \in \mathbb{N} $ 를 가진 반복 이토 확률적 적분은 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용하여 평균제곱근 오차를 최소화할 수 있는가?
• RQ2 레지엔드르 및 삼각 급수를 사용한 반복 이토 적분 근사에서 평균제곱근 오차의 정확한 및 근사적인 표현식은 무엇인가?
• RQ3 차수 1에서 6까지의 반복 스트라토노비치 확률적 적분은 다중 푸리에-레지엔드르 및 삼각 급수를 사용하여 어떻게 명시적으로 전개할 수 있는가?
• RQ4 제안된 푸리에 기반 근사와 스트라토노비치 적분의 웡-자카이 유형 근사 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 기존 문헌의 결과와 비교할 때, 이 근사 결과는 수렴성 및 이토-스트라토노비치 관계 일致성 측면에서 어떻게 평가되는가?

주요 결과

• 논문은 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용하여 임의의 차수 k에 대한 반복 이토 확률적 적분에 대해 명시적인 전개식을 도출하였으며, 이는 평균제곱근 수렴 보장된다.
• 차수 1에서 6까지의 반복 스트라토노비치 확률적 적분에 대해 다중 푸리에-레지엔드르 및 삼각 급수를 기반으로 한 닫힌 형태의 전개식을 제공하여 실용적인 수치적 구현이 가능하다.
• 근사의 평균제곱근 오차에 대한 정확한 표현식을 도출하였으며, 오차는 푸리에 계수의 $ L_2 $-노름과 기저 함수의 정규직교성 성질에 따라 달라진다.
• 근사 오차의 근사 표현식을 제공하여, 적분의 전체 재구성 없이도 효율적인 오차 추정이 가능하다.
• 푸리에 근사의 수렴성이 항의 수가 증가함에 따라 $ \text{l.i.m.} $ (평균제곱근에서의 극한)을 통해 엄밀히 확립되었으며, 기존의 웡-자카이 근사와의 비교를 통해 일치성이 확인되었다.
• 명시적인 예제를 통해 방법을 검증하였으며, 이 중 레지엔드르 다항식 전개를 사용한 이중 확률적 적분 근사의 경우 근사의 극한이 정확한 스트라토노비치 적분으로 수렴함을 보였다.