[논문 리뷰] Double Groupoids, Orbifolds, and the Symplectic Category

Santiago Cañez|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 13.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 28인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 심플렉틱 기하학에서 군oids를 일반화하는 심플렉틱 카오스포이드—심플렉틱 범주 내의 구조—를 소개하고, 정준 관계를 통해 심플렉틱 오비폴드를 구성하는 데서 그 역할을 보여준다. 심플렉틱 이중 군oids의 코어가 심플렉틱 축소를 통해 심플렉틱 군oids임을 증명하며, 모든 심플렉틱 오비폴드가 이러한 구성 방식으로 유도된다고 추측하고, 심플렉틱 스택과 그 양자화를 이해하는 데 새로운 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

Motivated by an attempt to better understand the notion of a symplectic stack, we introduce the notion of a symplectic hopfoid, which should be thought of as the analog of a groupoid in the so-called symplectic category. After reviewing some foundational material on canonical relations and this category, we show that symplectic hopfoids provide a characterization of symplectic double groupoids in these terms. Then, we show how such structures may be used to produce examples of symplectic orbifolds, and conjecture that all symplectic orbifolds arise via a similar construction. The symplectic structures on the orbifolds produced arise naturally from the use of canonical relations. The characterization of symplectic double groupoids mentioned above is made possible by an observation which provides various ways of realizing the core of a symplectic double groupoid as a symplectic quotient of the total space, and includes as a special case a result of Zakrzewski concerning Hopf algebra objects in the symplectic category. This point of view also leads to a new proof that the core of a symplectic double groupoid itself inherits the structure of a symplectic groupoid. Similar constructions work more generally for any double Lie groupoid---producing what we call a Lie hopfoid---and we describe the sense in which a version of the "cotangent functor" relates such hopfoid structures.

연구 동기 및 목표

• 심플렉틱 범주와 정준 관계를 이용한 심플렉틱 스택의 프레임워크를 개발하기 위해.
• 심플렉틱 범주에서 군oids의 일반화로서 심플렉틱 카오스포이드를 통해 심플렉틱 이중 군oids를 특성화하기 위해.
• 심플렉틱 카오스포이드로부터 심플렉틱 오비폴드를 구성할 수 있음을 보이고, 모든 이러한 오비폴드가 이 방식으로 유도된다고 추측하기 위해.
• 심플렉틱 카오스포이드의 양자화를 탐색하여 심플렉틱 스택의 기하학적 양자화로 가는 길을 모색하기 위해.
• 심플렉틱 범주 내의 리 카오스포이드가 코탄젠트 함수와 일반화된 호프 알gebroid와 어떻게 관련되는지 밝히기 위해.

제안 방법

• 심플렉틱 다양체 사이의 정준 관계를 사상으로 사용하여 심플렉틱 범주를 도입한다.
• 심플렉틱 범주 내의 호프 대수 객체로서 심플렉틱 카오스포이드를 정의하고, 이를 심플렉틱 군oids의 일반화로 삼는다.
• 전체 공간의 심플렉틱 축소를 통해 심플렉틱 이중 군oids의 코어를 심플렉틱 몫으로 실현한다.
• 리 군oids에 대해 이 구성 방식을 적용하여, 코탄젠트 릿지 $T^*G \rightrightarrows T^*M$ 가 심플렉틱 카오스포이드를 이룬다는 것을 보인다.
• 정준 관계의 기하학적 양자화를 통해 이러한 카오스포이드의 양자화가 양자 군oids의 구조를 유도함을 보여준다.
• L^2-공간과 적분 사상들을 사용한 양자화 절차를 제안하여 호프 알gebroid 유사한 구조로 이어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 심플렉틱 범주 내의 구조를 통해 심플렉틱 스택을 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ2 심플렉틱 카오스포이드는 심플렉틱 오비폴드를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 심플렉틱 이중 군oids의 코어는 어떻게 심플렉틱 군oids의 구조를 물려받는가?
• RQ4 모든 심플렉틱 오비폴드가 심플렉틱 카오스포이드로부터 유도된 몫으로서 실현될 수 있는가?
• RQ5 심플렉틱 카오스포이드의 기하학적 양자화에서 어떤 대수적 구조가 유도되는가?

주요 결과

• 심플렉틱 이중 군oids의 코어는 전체 공간의 심플렉틱 축소를 통해 심플렉틱 군oids임을 증명하였다.
• 심플렉틱 카오스포이드는 정준 관계와 심플렉틱 몫을 통해 심플렉틱 이중 군oids를 특성화한다.
• 이 구성은 심플렉틱 카오스포이드로부터 자연스럽게 심플렉틱 오비폴드를 유도하며, 모든 심플렉틱 오비폴드가 이 방식으로 생성된다는 추측을 뒷받침한다.
• 코탄젠트 릿지 $T^*G \rightrightarrows T^*M$ 의 양자화는 통합과 콘볼루션 사상들을 통해 $L^2(G) \rightrightarrows L^2(M)$ 에 호프 알gebroid의 구조를 생성한다.
• 양자화 과정은 심플렉틱 카오스포이드가 양자 군oids의 구조로 양자화된다고 시사하며, 심플렉틱 스택과 코탄젠트 스택에 응용 가능성이 있다.
• 이 프레임워크는 리 카오스포이드로 일반화되며, 정준 관계를 통한 코탄젠트 함수와의 제안된 연결이 있다.