[논문 리뷰] Entanglement spectrum of a topological phase in one dimension

Frank Pollmann, Erez Berg외 2명|arXiv (Cornell University)|2009. 10. 09.

Quantum many-body systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 1차원 스핀-1 체인에서의 Haldane 상이 시간역전, 이면대칭 또는 결합 중심 대칭에 의해 보호되는 엔트랑글레먼트 스펙트럼의 대칭 보호 이중 디세너시를 특징으로 한다는 것을 보여준다. 이 디세너시는 대칭이 손상되지 않는 한 유지되며, 전통적인 순서 매개변수가 사라지는 경우에도 강건하고 보편적인 위상상의 서명으로 기능한다.

ABSTRACT

We show that the Haldane phase of S=1 chains is characterized by a double degeneracy of the entanglement spectrum. The degeneracy is protected by a set of symmetries (either the dihedral group of $π$-rotations about two orthogonal axes, time-reversal symmetry, or bond centered inversion symmetry), and cannot be lifted unless either a phase boundary to another, "topologically trivial", phase is crossed, or the symmetry is broken. More generally, these results offer a scheme to classify gapped phases of one dimensional systems. Physically, the degeneracy of the entanglement spectrum can be observed by adiabatically weakening a bond to zero, which leaves the two disconnected halves of the system in a finitely entangled state.

연구 동기 및 목표

• 기존의 순서 매개변수를 초월하여 1차원 시스템에서 Haldane 상을 보편적이고 파동함수 기반으로 특성화하는 것.
• 엔트랑글레먼트 스펙트럼이 간극이 있는 대칭 보호 위상상에 대해 위상 불변량으로 기능할 수 있는지 조사하는 것.
• 엔트랑글레먼트 스펙트럼에서 이중 디세너시를 보호하기 위한 최소한의 대칭 집합을 규명하는 것.
• 이중 디세너시의 물리적 실현 가능성을 단계적 결합 약화를 통해 탐색하는 것.
• 대칭 제약 조건 하에서 엔트랑글레먼트 스펙트럼의 구조를 이용하여 1차원 시스템의 간극이 있는 상을 분류하는 것.

제안 방법

• 체계를 이원으로 분할한 후 감소된 밀도 행렬의 대각화를 통해 AKLT 상태 및 기타 Haldane 상 해밀토니안의 엔트랑글레먼트 스펙트럼을 분석한다.
• 엔트랑글레먼트 스펙트럼에서의 이중 디세너시가 시간역전 대칭, 이면대칭(π-회전), 또는 결합 중심 대칭에 의해 보호된다는 것을 확인한다.
• 매트릭스 곱 상태(MPS) 형식을 사용하여 기본 상태를 표현하고, 위상 φ_I = π인 대칭에 대해 스미스 분해를 유도한다.
• 대칭이 유지되는 한, 해밀토니안 변형에 대해 디세너시가 강건함을 보여주기 위해 유니터리 변환을 적용한다.
• 결합을 단계적으로 약화시켜 영으로 만들었을 때 엔트랑글레먼트 엔트로피가 정확히 ln(2)가 되며, 이는 디세너시의 측정 가능한 물리적 서명임을 입증한다.
• 대칭이 단독으로 존재하더라도 이중 디세너시를 보호하는 데 충분하며, 모서리 상태나 스트링 순서가 없는 경우에도 성립함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엔트랑글레먼트 스펙트럼은 간극이 있는 1차원 상에 대해 보편적인 위상 불변량으로 기능할 수 있는가?
• RQ2 Haldane 상의 엔트랑글레먼트 스펙트럼에서 이중 디세너시를 보호하기 위해 필요한 대칭은 무엇이며, 충분한가?
• RQ3 기존의 순서 매개변수(예: 스트링 순서)를 파괴하는 국소적 외란에 대해 엔트랑글레먼트 디세너시는 강건한가?
• RQ4 단계적 결합 약화를 통해 엔트랑글레먼트 디세너시를 물리적으로 관측할 수 있는가?
• RQ5 에지 상태나 비국소적 순서 매개변수가 없는 상황에서 대칭이 단독으로 위상적 순서를 보호하는 데 충분한가?

주요 결과

• Haldane 상의 엔트랑글레먼트 스펙트럼은 시간역전 대칭, 이면대칭 또는 결합 중심 대칭에 의해 보호되는 강건한 이중 디세너시를 나타낸다.
• 대칭이 손상되지 않는 한, 임의의 국소 해밀토니안 변형에 대해 디세너시가 유지되며, 이는 위상적 안정성을 시사한다.
• 대칭이 단독으로 존재하더라도 이중 디세너시를 보호하는 데 충분하며, 모서리 상태나 스트링 순서가 없는 경우에도 성립한다.
• 결합을 단계적으로 끊었을 때 엔트랑글레먼트 엔트로피는 정확히 ln(2)가 되며, 이는 위상상의 측정 가능한 물리적 서명이다.
• 엔트랑글레먼트 스펙트럼은 파동함수의 비국소적 정보를 포함하며, 디세너시 고유값들이 대칭군의 비자명한 프로젝티브 표현에 따라 변환되기 때문이다.
• 대칭군의 작용 하에서 엔트랑글레먼트 스펙트럼의 디세너시 구조를 기반으로 1차원 간극이 있는 상을 체계적으로 분류할 수 있다.