[논문 리뷰] Entanglement spreading after local and extended excitations in a free-fermion chain

Viktor Eisler|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 30.

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한 줄 요약

이 논문은 자유 페르미온 사슬에서 국소적 및 확장된 진동수 상태에 이르는 얽힘 동역학을 가우시안 상태 기법과 준입자 그림 분석을 사용하여 연구한다. 단일 입자 또는 정공 진동수 상태는 항상 한 비트의 초과 얽힘을 생성하는 반면, 이중 정공 진동수 상태는 유한한 거리에서의 간섭에 의해 비가산적 얽힘을 보이며, 이는 거리가 멀어질수록 가산적으로 변한다. 연속된 정공의 확장된 영역에서는 초과 엔트로피가 크기와 함께 로그 스케일링을 보이며, 유한한 간격은 선형 스케일링을 나타내어 진동수 상태가 효과적으로 구별 가능하다는 것을 시사한다.

ABSTRACT

We study the time evolution of entanglement created by local or extended excitations upon the ground state of a free-fermion chain. A single particle or hole excitation produces a single bit of excess entropy for large times and subsystem lengths. In case of a double hole, some of the coherence between the excitations is preserved and the excess entropy becomes additive only for large hole separations. In contrast, the coherence is always lost for particle-hole excitations. Multiple hole excitations on a completely filled chain are also investigated. We find that for an extended contiguous hole the excess entropy scales logarithmically with the size, whereas the increase is linear for finite separations between the holes.

연구 동기 및 목표

• 일차원 자유 페르미온 사슬에서 국소적 및 확장된 진동수 상태 후에 얽힘이 어떻게 전파되는지 이해하는 것.
• 준입자 간 양자 간섭이 점점 커지는 얽힘 엔트로피에 미치는 역할을 규명하는 것.
• 공간적 간격과 진동수 상태 유형에 따라 초과 얽힘의 가산성 또는 비가산성이 어떻게 달라지는지 명확히 하는 것.
• 특히 연속된 정공과 분리된 정공에 대해 초과 얽힘의 크기 스케일링을 조사하는 것.
• 자유 페르미온 시스템에서 준입자 그림과 정확한 가우시안 상태 계산 간의 엄밀한 연결 고리를 확립하는 것.

제안 방법

• 연구는 위크 정리와 시간에 따른 상관 행렬을 활용한 가우시안 상태 체계를 사용하여 얽힘 엔트로피를 계산한다.
• 시간 진동은 뉴먼 함수를 사용한 유니터리 변환을 통해 계산되며, U_{mn} = i^{n-m} J_{n-m}(t) 로 주어진다.
• 얽힘 엔트로피는 S(t) = ∑_{k=1}^L s(ζ_k(t)) 를 통해 감소된 상관 행렬의 고유값으로 계산되며, 여기서 s(x) = −x ln x −(1−x) ln(1−x) 이다.
• 초과 얽힘 ∆S(t) = S(t) − S_0 를 분석하여 기초 상태 기여와 시간에 따른 동역학 기여를 분리한다.
• 다중 진동수 상태의 경우, 변형 ∆C(t) 를 대각화하여 초과 엔트로피를 지배하는 고유값을 추출한다.
• 점점 큰 시간과 큰 부분계열에 대해 점근적 분석과 정상위상 근사법을 사용하여 해석적 표현을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 페르미온 사슬에서 단일 국소적 입자 또는 정공 진동수 상태 후 초과 얽힘은 어떻게 스케일링되는가?
• RQ2 두 개의 정공 진동수 상태 간의 간섭이 점점 커지는 얽힘 엔트로피에 미치는 역할은 무엇인가?
• RQ3 다중 정공 진동수 상태에서의 얽힘은 가산적으로 스케일링되는가? 만약 아니라면 어떤 조건에서 이격되는가?
• RQ4 연속된 정공과 분리된 정공 간의 얽힘 스케일링은 어떻게 다를까?
• RQ5 유한한 크기 효과를 고려한 격자 시스템에서 준입자 그림이 얽힘 동역학을 얼마나 정확하게 기술하는가?

주요 결과

• 단일 입자 또는 정공 진동수 상태는 위치에 관계없이 점점 커지는 극한에서 정확히 한 비트의 초과 얽힘을 생성한다.
• 두 개의 정공 진동수 상태에서는 간섭으로 인해 유한한 거리에서 비가산적 얽힘이 발생하며, 초과 엔트로피는 개별 기여의 단순 합이 아니다.
• 두 정공 진동수 상태의 초과 얽힘은 거리가 멀어질수록 간섭이 사라지므로 가산적으로 변한다.
• 입자-정공 진동수 상태의 경우, 큰 시간에 이르면 항상 간섭이 소멸되어 거리에 관계없이 가산적 초과 얽힘을 초래한다.
• 채워진 사슬에서 다중 정공 진동수 상태의 경우, 연속된 정공 영역은 초과 얽힘의 로그 스케일링을 보이며, 유한한 간격은 선형 스케일링을 나타낸다.
• 연속된 정공 영역의 로그 스케일링은 유지된 양자 간섭에 기인하고, 유한한 간격은 진동수 상태를 효과적으로 구별 가능하게 하여 선형 증가를 초래한다.