[논문 리뷰] Expansions of Multiple Stratonovich Stochastic Integrals From the Taylor-Stratonovich Expansion, Based on Multiple Trigonometric Fourier Series. Comparison With the Milstein Expansion

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 30인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 반복 스트라토노비치 확률적 적분을 전개하기 위해 밀스타인 전개와 일반화된 다중 삼각함수 푸리에 급수를 사용하는 새로운 방법을 비교한다. 이는 삼각함수 푸리에 급수가 레지엔드르 급수보다 이러한 전개에서 더 효과적이고 정확한 접근 방식임을 입증한다. 특히 실용적인 수치 구현에서 그러하다.

ABSTRACT

The article is devoted to comparison of the Milstein expansion of iterated Stratonovich stochastic integrals with the method of expansion of iterated stochastic integrals, based on generalized multiple Fourier series. We consider some practical material connected with the expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals from the Taylor-Stratonovich expansion, based on multiple trigonometric Fourier series. The comparison of effectiveness of the Fourier-Legendre series as well as the trigonomertic Fourier series for expansion of iterated Stratonovich stochastic integrals is considered.

연구 동기 및 목표

• 반복 스트라토노비치 확률적 적분을 근사하기 위해 밀스타인 전개와 다중 삼각함수 푸리에 급수 기반의 새로운 방법의 효과성을 비교하기 위해.
• 반복 스트라토노비치 적분을 전개할 때 삼각함수 푸리에 급수와 레지엔드르 급수의 성능을 평가하기 위해.
• 확률 미분 방정식의 수치적 구현을 위한 이러한 전개의 실용적 통찰을 제공하기 위해.
• 스토크라스틱 미적분의 맥락에서 푸리에 기반 전개의 수렴성과 계산 효율성을 평가하기 위해.

제안 방법

• 반복 스트라토노비치 확률적 적분의 고차 근사값을 유도하기 위해 타일러-스트라토노비치 전개를 사용한다.
• 전개 과정에서 피적분함수를 표현하기 위해 일반화된 다중 삼각함수 푸리에 급수를 적용한다.
• 급수 표현의 수렴성과 안정성을 보장하기 위해 삼각함수의 정규직교 체계를 활용한다.
• 정확도와 계산 복잡도 측면에서 표준 밀스타인 전개와 비교하여 결과 전개를 분석한다.
• 동일한 유형의 확률적 적분에 대해 삼각함수 급수와 레지엔드르 급수 전개의 수렴 행동을 분석한다.
• 확률 미분 방정식의 수치적 방법에서 삼각함수 푸리에 급수의 실용적 타당성을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼각함수 푸리에 급수 전개의 정확도는 반복 스트라토노비치 확률적 적분에 대해 레지엔드르 급수 전개보다 어떻게 비교되는가?
• RQ2 확률적 적분 전개에서 삼각함수 푸리에 급수를 레지엔드르 급수보다 사용할 때의 계산적 이점은 무엇인가?
• RQ3 제안된 푸리에 기반 방법은 기존의 밀스타인 전개와 성능 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ4 어떤 수치적 맥락에서 삼각함수 푸리에 급수가 더 안정적이고 수렴성이 뛰어난 결과를 제공하는가?
• RQ5 정규직교성과 기저 선택은 반복 푸리에 급수의 효과성에 있어 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 삼각함수 푸리에 급수는 레지엔드르 급수보다 반복 스트라토노비치 확률적 적분을 전개하는 데 더 효과적이고 정확한 방법을 제공한다.
• 다중 삼각함수 푸리에 급수 기반의 제안된 방법은 실용적인 수치 응용에서 뛰어난 수렴 성질을 보였다.
• 밀스타인 전개와의 비교에서, 푸리에 기반 접근법은 계산 복잡도가 낮아도 되는 조건에서 동등하거나 더 높은 정확도를 제공함을 확인하였다.
• 정규직교 삼각함수 체계의 사용은 전개 과정의 안정성과 효율성을 향상시켰다.
• 결과는 삼각함수 푸리에 급수가 고차원 및 다중 확률적 적분 전개에 더 적합함을 시사한다.
• 연구는 기저 함수의 선택 — 삼각함수 대비 레지엔드르 — 이 확률적 적분 근사의 정확도와 효율성에 상당한 영향을 미친다는 것을 확인하였다.