[논문 리뷰] Explicit formulas for p-adic integrals: approach to p-adic distributions and some families of special numbers and polynomials

Yılmaz Şimşek|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 10.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 82인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 p-진 적분, 특히 볼켄본 및 페르미온 p-진 적분에 대한 새로운 명시적 공식을 제시하며, 베르누이, 오일러, 스틸링, 데이헤, 창헤, 중심 계승계수 수와 같은 기본 특수 수와 다항식과의 연결을 다룬다. 이는 중심 계승계수의 제2종을 이용해 베르누이 및 오일러 수를 표현하는 두 가지 새로운 수열 $\mathcal{Y}(n,B)$ 및 $\mathcal{Y}(n,E)$를 도입하여, p-진 적분 평가를 통해 새로운 계산 항등식을 제공한다.

ABSTRACT

The main objective of this article is to give and classify new formulas of $p$-adic integrals and blend these formulas with previously well known formulas. Therefore, this article gives briefly the formulas of $p$-adic integrals which were found previously, as well as applying the integral equations to the generating functions and other special functions, giving proofs of the new interesting and novel formulas. The $p$-adic integral formulas provided in this article contain several important well-known families of special numbers and special polynomials such as the Bernoulli numbers and polynomials, the Euler numbers and polynomials, the Stirling numbers, the Lah numbers, the Peters numbers and polynomials, the central factorial numbers, the Daehee numbers and polynomials, the Changhee numbers and polynomials, the Harmonic numbers, the Fubini numbers, combinatorial numbers and sums. In addition, we defined two new sequences containing the Bernoulli numbers and Euler numbers. These two sequences include central factorial numbers, Bernoulli numbers and Euler numbers. Some computation formulas and identities for these sequences are given. Finally we give further remarks, observations and comments related to content of this paper.

연구 동기 및 목표

• p-진 적분, 특히 볼켄본 및 페르미온 p-진 적분에 대한 새로운 명시적 공식을 유도하고 통합한다.
• 이 적분들이 베르누이, 오일러, 스틸링, 라, 페터스, 데이헤, 창헤, 조화 수 등 잘 알려진 특수 수와 다항식과 어떻게 연결되는지 밝힌다.
• 중심 계승계수의 제2종을 이용해 베르누이 및 오일러 수를 표현하는 두 가지 새로운 수열 $\mathcal{Y}(n,B)$ 및 $\mathcal{Y}(n,E)$를 정의하고 분석한다.
• p-진 적분 평가 및 생성함수를 통해 이러한 수열에 대한 계산 항등식을 수립한다.
• p-진 해석학과 수론 및 수학물리학 분야의 조합론적 및 특수 함수 간의 통합적 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 신규 항등식 유도를 위한 핵심 도구로 볼켄본 적분 $\int_{\mathbb{Z}_p} f(x) d\mu_1(x)$ 과 페르미온 p-진 적분 $\int_{\mathbb{Z}_p} f(x) d\mu_{-1}(x)$ 를 사용한다.
• 이 적분들을 생성함수와 다항식 전개, 특히 단항식 $x^{2n}$ 과 $x^2(x^2-1)\cdots(x^2-(n-1)^2)$ 과 같은 곱 형태에 적용한다.
• 단항식을 내림계승계수 유사 항들의 선형 조합으로 표현하기 위해 중심 계승계수의 제2종 $T(n,k)$ 를 활용한다.
• 베르누이 및 오일러 수와 연결된 $x^j x_{(k)}$ 의 적분 평가를 통해 수열 $\mathcal{Y}(n,B)$ 와 $\mathcal{Y}(n,E)$ 를 정의한다.
• 1종 스틸링 수 $S_1(n,j)$ 와 절대 라 수 $|L(n,k)|$ 를 사용해 적분 표현식을 명시적 합으로 분해한다.
• 기존의 베르누이 및 오일러 수 항등식과 p-진 적분 결과를 결합하여 새로운 닫힌형 표현식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 볼켄본 및 페르미온 p-진 적분을 체계적으로 적용하여 특수 수와 다항식에 대한 새로운 항등식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 중심 계승계수 $T(n,k)$ 는 p-진 적분을 통한 베르누이 및 오일러 수 표현에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 베르누이 및 오일러 수를 $T(n,k)$ 와 기타 수열의 선형 조합을 통해 복원할 수 있는 새로운 수열 $\mathcal{Y}(n,B)$ 와 $\mathcal{Y}(n,E)$ 를 정의할 수 있는가?
• RQ4 신규 수열 $\mathcal{Y}(n,B)$ 와 $\mathcal{Y}(n,E)$ 는 데이헤 및 창헤 수와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 p-진 적분과 조합계수를 사용하여 $\mathcal{Y}(n,B)$ 와 $\mathcal{Y}(n,E)$ 에 대한 명시적 계산 공식을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 베르누이 수는 $B_{2n} = \sum_{k=0}^{n} T(n,k) \mathcal{Y}(k,B)$ 를 만족하며, 여기서 $T(n,k)$ 는 중심 계승계수의 제2종이다.
• 오일러 수는 $E_{2n} = \sum_{k=0}^{n} T(n,k) \mathcal{Y}(k,E)$ 를 만족하여, 베르누이 경우와 대칭적인 구조를 형성한다.
• 수열 $\mathcal{Y}(n,B)$ 는 $\sum_{j=0}^{n} \sum_{k=1}^{n} \sum_{m=0}^{k} S_1(n,j) S_1(k,m) B_{j+m} |L(n,k)|$ 로 명시적으로 주어지며, 이는 스틸링 수와 라 수와 연결된다.
• 수열 $\mathcal{Y}(n,E)$ 는 $\sum_{j=0}^{n} \sum_{k=1}^{n} \sum_{m=0}^{k} S_1(n,j) S_1(k,m) E_{j+m} |L(n,k)|$ 로 주어지며, 오일러 수의 새로운 계산 경로를 제공한다.
• $\mathcal{Y}(n,B)$ 는 데이헤 수 $D_n$ 과, $\mathcal{Y}(n,E)$ 는 창헤 수 $Ch_n$ 과 각각 일치하며, p-진 적분과 이러한 특수 수열 간의 새로운 연결 고리를 확립한다.
• 논문은 $\mathcal{Y}(n,B)$ 와 $\mathcal{Y}(n,E)$ 가 단항식과 내림계승계수의 p-진 적분을 통해 계산될 수 있음을 규명하여, 베르누이 및 오일러 수 평가에 새로운 방법을 제공한다.