[논문 리뷰] More on symmetry resolved operator entanglement

Sara Murciano, Jérôme Dubail외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 09. 07.

Quantum many-body systemsPhysics and Astronomy참고 문헌 100인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 U(1)-대칭 스핀 체인으로의 대칭 분해 연산자 얽힘(SROE)를 확장하여, 등온 밀도 행렬과 하이젠베르크 그림의 국소 연산자에 대한 얽힘을 conformal field theory(CFT)와 자유 Fermion 체인을 통해 분석한다. 주요 결과로는 등온 밀도 행렬이 등분할을 수반하는 연산자 면적 법칙을 따르는 반면, 국소 연산자는 유한한 SROE와 깨진 등분할을 보이며, 조르당-바이어너 스트링과 같은 확장된 연산자는 로그적 SROE 증가와 복귀된 등분할을 보인다.

ABSTRACT

The `operator entanglement' of a quantum operator $O$ is a useful indicator of its complexity, and, in one-dimension, of its approximability by matrix product operators. Here we focus on spin chains with a global $U(1)$ conservation law, and on operators $O$ with a well-defined $U(1)$ charge, for which it is possible to resolve the operator entanglement of $O$ according to the $U(1)$ symmetry. We employ the notion of symmetry resolved operator entanglement (SROE) introduced in [PRX Quantum 4, 010318 (2023)] and extend the results of the latter paper in several directions. Using a combination of conformal field theory and of exact analytical and numerical calculations in critical free fermionic chains, we study the SROE of the thermal density matrix $ρ_β= e^{- βH}$ and of charged local operators evolving in Heisenberg picture $O = e^{i t H} O e^{-i t H}$. Our main results are: i) the SROE of $ρ_β$ obeys the operator area law; ii) for free fermions, local operators in Heisenberg picture can have a SROE that grows logarithmically in time or saturates to a constant value; iii) there is equipartition of the entanglement among all the charge sectors except for a pair of fermionic creation and annihilation operators.

연구 동기 및 목표

• U(1)-대칭 양자 시스템, 특히 1차원 스핀 체인에 대해 대칭 분해 연산자 얽힘(SROE)의 프레임워크를 확장하는 것.
• 등온 밀도 행렬과 하이젠베르크 그림의 국소 연산자와 같은 주요 물리적 연산자에 대해 U(1) 전하 부문에 걸친 연산자 얽힘의 분포를 조사하는 것.
• 전하 부문 간에 얽힘의 등분할이 성립하는지, 그리고 어떤 조건에서 깨지거나 복귀하는지 규명하는 것.
• 등온 밀도 행렬의 SROE에 대해 연산자 면적 법칙을 수립하고, 국소 및 확장된 연산자의 SROE 시간 진화를 분석하는 것.
• 복제 방법과 휘감김 장을 사용하여 SROE, 얽힘 장벽, 임계 시스템에서의 비보편 보정 간의 연결 고리를 탐색하는 것.

제안 방법

• 등온 밀도 행렬과 국소 연산자의 복소 순간과 대칭 분해 얽힘을 계산하기 위해 conformal field theory(CFT)에서 복제 기법을 적용한다.
• 왜곡 장 형식을 사용하여 자유 Fermion CFT에서의 복소 순간을 유도함으로써, $K=1$의 경우 SROE를 분석적으로 계산하고 $K \neq 1$로 일반화한다.
• 자유 Fermion 체인에서 정확한 해석적 및 수치적 방법을 적용하여, 생성/소멸 연산자 및 밀도 연산자와 같은 국소 연산자의 SROE를 계산한다.
• 도메인 월드 퀘이즈 동역학과의 관계를 통해 조르당-바이어너 스트링의 SROE를 유도하며, 시간에 따라 로그적으로 증가함을 보인다.
• 이중화된 연산자와 이중화된 연산자의 바이파트라이트 시스템에서의 바이너리 엔트로피를 통한 연산자 얽힘 정의를 사용한다.
• 다양한 전하 부문에서 SROE의 渐近 행동을 분석하며, 확장된 연산자에 대해 $q^2 / \log^2 t$ 정도의 보정을 포함하여 부분적인 등분할 복귀를 나타낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등온 밀도 행렬 $\rho_\beta = e^{-\beta H}$의 대칭 분해 연산자 얽힘(SROE)이 연산자 면적 법칙을 따르는가?
• RQ2 하이젠베르크 그림의 국소 연산자의 SROE는 시간에 따라 어떻게 진화하며, U(1) 전하 부문 간에 등분할이 나타나는가?
• RQ3 연산자의 공간적 지지체가 SROE가 등분할을 만족하는지 여부를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 조르당-바이어너 스트링과 같은 확장된 연산자의 SROE는 국소 연산자와 비교해 시간 진화 및 대칭 분해 측면에서 어떻게 다를까?
• RQ5 비보편 보정은 SROE의 등분할에 어떤 영향을 미치며, 이를 체계적으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 등온 밀도 행렬 $\rho_\beta$의 SROE는 연산자 면적 법칙을 따르며, 모든 전하 부문에서 유계된 얽힘을 보이고, 주로 전하에 대한 의존성이 없다.
• 자유 Fermion 체인에서 하이젠베르크 그림의 국소 연산자의 SROE는 시간이 지남에 따라 유한하게 유지되며, 페르미온 생성 및 소멸 연산자 한 쌍을 제외하고는 등분할을 강하게 위반한다.
• 조르당-바이어너 스트링의 SROE는 시간에 따라 $\sim \frac{n+1}{3n} \log(4t)$ 비슷하게 로그적으로 증가하여 발산하는 연산자 얽힘을 나타내며, 渐近적으로 $q^2 / \log^2 t$ 정도의 보정을 포함하여 등분할을 복귀한다.
• 밀도 연산자 $c_x^\dagger(t) c_x(t)$의 SROE는 항상 면적 법칙을 따르며, 유한한 지지체로 인해 강한 등분할 위반을 보인다.
• 유한한 공간적 지지체를 가진 국소 연산자에서는 SROE의 등분할이 깨지지만, 발산하는 얽힘을 가진 연산자(예: 확장된 스트링)에서는 등분할이 복귀된다.
• 조르당-바이어너 스트링의 등분할에 대한 渐近 보정은 $\sim q^2 \pi^4 (h_1 - n h_n) / [4(1-n) (\log(2t\kappa_n))^2]$로 구해지며, $h_n$, $\delta_n$, $\kappa_n$에 따라 변하는 비보편 계수를 포함한다.