[논문 리뷰] New series for powers of $\pi$ and related congruences

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 13.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 46인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 중심 삼항계수 $T_k(b,c)$를 통해 중심 이항계수와 삼항계수를 일반화함으로써 기호 계산을 사용하여 $\pi$ 거듭제곱에 대한 97개의 새로운 라마누잔 유형 급수를 제시한다. 주요 기여는 $p$-진 합동을 통한 $1/\pi$에 대한 유리수 라마누잔 유형 급수의 새로운 특성화이며, 이로 인해 117개의 새로운 추측 급수(클래스 수 8인 허수 정수환을 포함한 예시 포함)가 도출된다.

ABSTRACT

Via symbolic computation we deduce 97 new type series for powers of $\\pi$ related to Ramanujan-type series. Here are three typical examples: $$\\sum_{k=0}^\\infty \\frac{P(k) \\binom{2k}k\\binom{3k}k \\binom{6k}{3k}}{(k+1)(2k-1)(6k-1)(-640320)^{3k}} =\\frac{18\ imes557403^3\\sqrt{10005}}{5\\pi}$$ with \\begin{align*}P(k) = &637379600041024803108 k^2 + 657229991696087780968 k \\\\&+ 19850391655004126179, \\end{align*} $$\\sum_{k=1}^\\infty \\frac{(3k+1)16^k}{(2k+1)^2k^3\\binom{2k}k^3} = \\frac{\\pi^2-8}2,$$ and $$\\sum_{n=0}^\\infty\\frac{3n+1}{(-100)^n} \\sum_{k=0}^n{n\\choose k}^2T_k(1,25)T_{n-k}(1,25) = \\frac{25}{8\\pi},$$ where the generalized central trinomial coefficient $T_k(b,c)$ denotes the coefficient of $x^k$ in the expansion of $(x^2+bx+c)^k$. We also formulate a general characterization of rational Ramanujan-type series for $1/\\pi$ via congruences, and pose 117 new conjectural series for powers of $\\pi$ via looking for corresponding congruences. For example, we conjecture that $$\\sum_{k=0}^\\infty\\frac{39480k+7321}{(-29700)^k}T_k(14,1)T_k(11,-11)^2=\\frac{6795\\sqrt5}{\\pi}.$$ Eighteen of the new series in this paper involve some imaginary quadratic fields with class number $8$.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 중심 삼항계수 $T_k(b,c)$를 사용하여 $\pi$의 거듭제곱에 대한 새로운 라마누잔 유형 급수를 유도하기.
• 일반화된 중심 삼항계수를 사용하여 $p$-진 합동을 통한 $1/\pi$에 대한 유리수 라마누잔 유형 급수의 일반적 특성화를 수립하기.
• 해당하는 $p$-진 합동을 식별함으로써 $\pi$의 거듭제곱에 대한 117개의 새로운 추측 급수를 제안하기.
• 라마누잔 유형 급수, 이항계수, 이차형식 간의 관계를 탐색하기.
• 이전의 $p$-진 라마누잔 유형 급수의 유사체를 일반화된 삼항계수와 새로운 급수 유형을 포함하도록 확장하기.

제안 방법

• 기호 계산을 활용하여 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{P(k) \binom{2k}{k} \binom{3k}{k} \binom{6k}{3k}}{(k+1)(2k-1)(6k-1)(-640320)^{3k}} = \frac{18 \times 557403^3 \sqrt{10005}}{5\pi}$ 형태의 새로운 급수 유도 (여기서 $P(k)$는 이차 다항식).
• 일반화된 중심 삼항계수 $T_k(b,c)$를 $(x^2 + bx + c)^k$에서 $x^k$의 계수로 정의하여 중심 이항계수와 삼항계수를 일반화함.
• $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{bk+c}{m^k} a(k) \equiv cp \left(\frac{\varepsilon_d d}{p}\right) \pmod{p^3}$ 형태의 $p$-진 합동을 사용하여 유리수 라마누잔 유형 급수를 특성화함.
• 라플라스-헤인 점근 공식과 레지앙드 다항식의 성질을 활용하여 $T_k(b,c)$의 성장 및 행동 분석.
• 재귀식 $(n+1)T_{n+1}(b,c) = (2n+1)bT_n(b,c) - n(b^2 - 4c)T_{n-1}(b,c)$을 사용하여 $T_k(b,c)$를 효율적으로 계산함.
• 관찰된 $p$-진 패턴을 바탕으로 추측을 수립함. 예를 들어 $p^2 \sum_{k=1}^{p-1} \frac{(105k-44)T_{k-1}}{k^2 \binom{2k}{k}^2 3^{k-1}} \equiv 11\left(\frac{p}{3}\right) \pmod{p^2}$ 와 같이, 이를 무한급수 항등식과 연결함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 중심 삼항계수 $T_k(b,c)$를 사용하여 $\pi$의 거듭제곱에 대한 새로운 라마누잔 유형 급수를 체계적으로 도출할 수 있는가?
• RQ2 $1/\pi$에 대한 유리수 라마누잔 유형 급수를 특성화하는 일반적인 $p$-진 합동의 구조는 무엇인가?
• RQ3 기호 계산을 어떻게 활용하여 $\pi$ 및 그 거듭제곱에 대한 새로운 급수를 생성하고 검증할 수 있는가?
• RQ4 라마누잔 유형 급수와 허수 정수환(특히 클래스 수 8인 경우) 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 예를 들어 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(105k-44)T_{k-1}}{k^2 \binom{2k}{k}^2 3^{k-1}}$와 같은 특정 무한급수에 대해 정확한 닫힌 형태를 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $\pi$의 거듭제곱에 대한 97개의 새로운 라마누잔 유형 급수를 도출하였으며, 이 중에는 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{P(k) \binom{2k}{k} \binom{3k}{k} \binom{6k}{3k}}{(k+1)(2k-1)(6k-1)(-640320)^{3k}} = \frac{18 \times 557403^3 \sqrt{10005}}{5\pi}$ 형태의 급수(여기서 $P(k)$는 이차 다항식) 포함.
• 새로운 급수 중 18개는 클래스 수 8인 허수 정수환을 포함하여 깊은 산술적 성질과 연결됨.
• 레지앙드 색소를 포함한 $p$-진 합동을 통한 $1/\pi$에 대한 유리수 라마누잔 유형 급수의 일반적 특성화를 제안함.
• 추측 10.1은 정확한 평가를 제안함: $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(105k-44)T_{k-1}}{k^2 \binom{2k}{k}^2 3^{k-1}} = \frac{5\pi}{\sqrt{3}} + 6\log 3$ 와 $\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(5k-2)T_{k-1}}{(k-1)k^2 \binom{2k}{k}^2 3^{k-1}} = \frac{21 - 2\sqrt{3}\pi - 9\log 3}{12}$.
• 추측 10.2는 이러한 급수의 부분합에 대한 $p$-진 합동을 제공함. 예를 들어 $p^2 \sum_{k=1}^{p-1} \frac{(105k-44)T_{k-1}}{k^2 \binom{2k}{k}^2 3^{k-1}} \equiv 11\left(\frac{p}{3}\right) + \frac{p}{2}(13 - 35\left(\frac{p}{3}\right)) \pmod{p^2}$.
• 논문은 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{8k+3}{(-16)^k} \binom{2k}{k}^2 T_k(3,-4) \equiv p(1 + 2\left(\frac{-1}{p}\right)) \pmod{p^2}$ 라는 추측을 제기하며, 이는 새로운 $p$-진 패턴과 연결됨.