[논문 리뷰] On jump-diffusion processes with regime switching: martingale approach

Antonio Di Crescenzo, Nikita Ratanov|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 19.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 시점에서 파라미터가 전환되는 제도 전환을 수반하는 점프-확산 과정을 마팅게일 기반으로 모델링한다. 볼테라 적분방정식을 통해 최소 엔트로피 마팅게일 측도(MEMM)를 도출하며, 레비 과정과 달리 이 제도 전환 설정에서는 에스셔 변환이 MEMM를 도출하지 못하며, 비선형 엔트로피 역학으로 인해 최적의 측도는 시간 수익률에 의존함을 보여준다.

ABSTRACT

We study jump-diffusion processes with parameters switching at random times. Being motivated by possible applications, we characterise equivalent martingale measures for these processes by means of the relative entropy. The minimal entropy approach is also developed. It is shown that in contrast to the case of Lévy processes, for this model an Esscher transformation does not produce the minimal relative entropy.

연구 동기 및 목표

• 제도 전환을 수반하는 점프-확산 과정에 대한 등가 마팅게일 측도를 특성화하는 것.
• 이러한 비마코프, 비레비 과정에 대한 최소 엔트로피 마팅게일 측도(MEMM)를 개발하는 것.
• 레비 과정과는 달리 이 모델에서는 에스셔 변환이 MEMM를 도출하지 못함을 보여주는 것.
• 표준 레비 모델과는 달리 최소 엔트로피 측도가 시간 수익률에 의존함을 보여주는 것.
• 제도 전환 하에서 엔트로피 최소화 문제를 해결하기 위한 볼테라 유형의 방정식을 유도하고 해를 구하는 것.

제안 방법

• 과정을 시간에 따라 변하는 결정론적 드리프트, 확산, 그리고 준마코프 전환 과정에 의해 구동되는 점프 성분의 조합으로 모델링한다.
• 물리적 확률 측도 하에서 등가 마팅게일 측도를 도출하기 위해 기르산표의 정리를 적용한다.
• 상대 엔트로피를 정의하고 엔트로피 함수를 사용한 변분 접근법을 통해 최소화 문제를 제시한다.
• 엔트로피를 최소화하기 위한 최적의 측도 파라미터(λ₁*, λ₂*)를 구하기 위해 볼테라 적분방정식의 체계를 유도한다.
• 엔트로피 함수의 이阶 도함수를 사용하여 해의 유일성과 볼록성을 증명한다.
• 대칭 및 비대칭 케이스를 분석하여 서로 다른 파라미터 설정 하에서 MEMM의 행동을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제도 전환 점프-확산 과정에 대해 최소 엔트로피 마팅게일 측도가 유일하게 결정될 수 있는가?
• RQ2 이 제도 전환 모델에서 에스셔 변환이 최소 상대 엔트로피 측도를 생성하는가?
• RQ3 이 비레비 과정에서 시간 수익률은 최소 엔트로피 측도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 엔트로피 함수의 구조는 무엇이며, 전환 강도와 점프 파라미터에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 대칭 대비 비대칭 파라미터 설정은 최적의 측도와 엔트로피 최소화에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제도 전환 점프-확산 모델에 대해 최소 엔트로피 마팅게일 측도(MEMM)는 유일하게 결정되며 존재한다.
• 레비 과정과는 달리 이 모델에서는 전환 강도를 조정할 수 없기 때문에 에스셔 변환이 MEMM를 도출하지 못한다.
• 최적의 측도 파라미터 λ₁* 및 λ₂*는 시간 수익률에 의존하므로, 최소 엔트로피는 시간에 대해 동질적이지 않다.
• 대칭 케이스(λ₁=λ₂, σ₁=σ₂, c₁=−c₂, h₁=−h₂)에서는 MEMM가 시간에 독립적인 일정한 측도로 축소된다.
• 엔트로피 함수 H₁(t) 및 H₂(t)는 시간에 대해 비선형적이며, 표준 레비 모델에서 관찰되는 선형 행동과 모순된다.
• 제시된 조건 하에서 유일한 해를 갖는 볼테라 방정식의 체계를 통해 엔트로피 최소화 문제의 해를 구한다.