[논문 리뷰] Online Feedback Optimization and Singular Perturbation via Contraction Theory

Liliaokeawawa Cothren, Francesco Bullo외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 10. 12.

Control and Stability of Dynamical SystemsEngineering인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 외란이 존재하는 이시간스케일 비선형 시스템을 분석하기 위한 새로운 수축이론적 프레임워크를 제안한다. 이 프레임워크는 빠른 부분계열과 단순화된 모델의 수축성, 그리고 유계 시간스케일 파라미터를 활용한다. 전체 시스템과 단순화된 모델 간의 추적 오차에 대해 균일한 상한을 확립하여 전역적이고 국소적인 수축 조건을 도출하고, 온라인 피드백 최적화 및 스택엘베르크 게임에서 시간에 따라 변하는 최적화자에 대한 새로운 오차 한계를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we provide a novel contraction-theoretic approach to analyze two-time scale systems, including those commonly encountered in Online Feedback Optimization (OFO). Our framework endows these systems with several robustness properties, enabling a more comprehensive characterization of their behaviors. The primary assumptions are the contractivity of the fast sub-system and the reduced model, along with an explicit upper bound on the time-scale parameter. For two-time scale systems subject to disturbances, we show that the distance between solutions of the nominal system and solutions of its reduced model is uniformly upper bounded by a function of contraction rates, Lipschitz constants, the time-scale parameter, and the variability of the disturbances over time. Applying these general results to the OFO context, we establish new individual tracking error bounds, showing that solutions converge to their time-varying optimizer, provided the plant and steady-state feedback controller exhibit contractivity and the controller gain is suitably bounded. Finally, we explore two special cases: for autonomous nonlinear systems, we derive sharper bounds than those in the general results, and for linear time-invariant systems, we present novel bounds based on induced matrix norms and induced matrix log norms.

연구 동기 및 목표

• 더 나은 강인성과 안정성 특성 분석을 위한 이시간스케일 시스템 분석을 위한 수축이론적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 기존 르아프노프 기반 방법의 한계를 보완하기 위해 수축 속도와 리프시츠 상수를 활용하여 더 날카로운 오차 한계를 확보하기 위해.
• 전체 시스템의 해가 시간에 따라 균일하게 단순화 모델의 해를 추적할 수 있는 명시적 조건을 제공하기 위해.
• 온라인 피드백 최적화 및 계층적 게임에서 시간에 따라 변하는 최적화자를 추적하기 위해 분석을 시간에 따라 변하는 외란과 함께 확장하기 위해.
• 로그 노름과 유도 노름을 사용하여 선형 시간불변 및 자율 비선형 시스템에 대해 새로운 오차 한계를 유도하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 적절한 노름 하에서 빠른 부분계열과 단순화된 모델의 강한 무한소적 수축성을 가정하는 데 기반한다.
• 안정성과 수렴성을 보장하기 위해 시간스케일 파라미터 ε에 대한 명시적 상한을 도입한다.
• 전체 시스템과 그 단순화 모델의 궤적 간 거리를 수축 속도와 리프시츠 상수를 사용하여 정량화한다.
• 선형 시스템의 경우, 더 날카로운 오차 한계를 도출하기 위해 로그 노름과 유도 노름을 활용한다.
• 이 프레임워크는 온라인 피드백 최적화와 스택엘베르크 게임이라는 두 가지 적용 분야에 적용되며, 시간에 따라 변하는 최적화자를 추적한다.
• 안정성을 위한 행렬 기반 허리츠 조건이 유도되며, 이는 시스템 매개변수와 수축 속도에 따라 ε의 범위를 제약한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수축 이론은 외란이 존재하는 이시간스케일 시스템의 강인성과 안정성을 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ2 전체 시스템과 그 단순화 모델 간의 균일한 추적 오차를 보장하기 위해 시간스케일 파라미터 ε에 대해 어떤 명시적 상한이 필요한가?
• RQ3 제안된 프레임워크는 자율 비선형 시스템과 선형 시간불변 시스템에 대해 기존 르아프노프 기반 방법보다 더 날카로운 오차 한계를 도출할 수 있는가?
• RQ4 수축이론적 접근은 온라인 피드백 최적화 및 계층적 게임에서 시간에 따라 변하는 최적화자를 추적하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 이시간스케일 시스템에서 일반화된 자코비안 행렬 𝒢ε의 허리츠 성질을 보장하기 위한 시스템 행렬에 대한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 이시간스케일 시스템과 그 단순화 모델의 해 간 거리는 수축 속도, 리프시츠 상수, 시간스케일 파라미터 ε, 외란의 시간변동성에 대한 함수로 균일하게 상한이 제시된다.
• 빠른 부분계열과 단순화 모델의 수축성에 기반하여 이시간스케일 시스템의 전역적 및 국소적 수축 조건이 확립된다.
• 자율 비선형 시스템의 경우, 일반적인 경우보다 더 날카로운 오차 한계가 도출되며, 이는 이전 결과를 향상시킨다.
• 선형 시간불변 시스템의 경우, 로그 노름과 유도 노름을 활용하여 새로운 오차 한계가 도출되며, 이는 기존 표준 방법보다 더 날카로운 추정치를 제공한다.
• 온라인 피드백 최적화 및 스택엘베르크 게임에서, 이 프레임워크는 시간에 따라 변하는 최적화자로의 수렴을 보여주는 명시적 추적 오차 한계를 도출하며, 전체 수축 속도가 계산된다.
• 일반화된 자코비안 행렬 𝒢ε의 허리츠 성질을 보장하기 위한 충분조건이 도출되었으며, 이는 시스템 매개변수 a_ij, d_ij에 따라 ε가 함수보다 작아야 함을 요구한다.