[논문 리뷰] Quantum algorithms for spectral sums

Alessandro Luongo, Changpeng Shao|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 12.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 62인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 대칭 양의 정부호 행렬의 스펙트럴 합을 추정하기 위한 새로운 양자 알고리즘을 제안한다. 예를 들어, 로그 행렬식, 본 네만 엔트로피, 역행렬의 트레이스, 샤텐-피 노름 등이 포함된다. 양자 특이값 변환과 양자 트레이스 추정을 활용하여, 조건 수와 오차에 대해 다항식적 의존성을 유지하면서도 행렬 크기의 선형 이하 런타임을 달성한다. 이는 비결정적 랜덤화 방법과 비교해 비결정적 랜덤화 방법이 비제로 원소 수에 대해 선형으로 증가하는 것과는 대조적으로, 더 빠른 성능을 보인다.

ABSTRACT

We propose new quantum algorithms for estimating spectral sums of positive semi-definite (PSD) matrices. The spectral sum of an PSD matrix $A$, for a function $f$, is defined as $ ext{Tr}[f(A)] = \sum_j f(λ_j)$, where $λ_j$ are the eigenvalues of $A$. Typical examples of spectral sums are the von Neumann entropy, the trace of $A^{-1}$, the log-determinant, and the Schatten $p$-norm, where the latter does not require the matrix to be PSD. The current best classical randomized algorithms estimating these quantities have a runtime that is at least linearly in the number of nonzero entries of the matrix and quadratic in the estimation error. Assuming access to a block-encoding of a matrix, our algorithms are sub-linear in the matrix size, and depend at most quadratically on other parameters, like the condition number and the approximation error, and thus can compete with most of the randomized and distributed classical algorithms proposed in the literature, and polynomially improve the runtime of other quantum algorithms proposed for the same problems. We show how the algorithms and techniques used in this work can be applied to three problems in spectral graph theory: approximating the number of triangles, the effective resistance, and the number of spanning trees within a graph.

연구 동기 및 목표

• 대칭 양의 정부호 행렬의 스펙트럴 합을 효율적으로 추정할 수 있는 양자 알고리즘을 개발하는 것.
• 행렬 크기의 런타임 의존성을 기존의 선형(비결정적)에서 양자 기반의 선형 이하로 줄이는 것. 이는 행렬 데이터에 대한 양자 액세스를 활용한다.
• 기계 학습, 통계 및 계산 화학 분야에서 활용 가능한 핵심 스펙트럴 양인 로그 행렬식, 역행렬의 트레이스, 본 네만 엔트로피, 샤텐-피 노름의 더 빠른 추정을 가능하게 하는 것.
• SPD 행렬을 초월해 특이값과 비-SPD 케이스(예: 샤텐-피 노름)로 일반화함으로써, 양자 알고리즘의 적용 범위를 넓히는 것.
• 현재의 양자 접근 방식의 한계를 규명하고, 예를 들어 음의 고유값이 존재하는 경우에 Estrada 지수 추정에 어려움이 있음을 밝히며 향후 연구 방향을 제안하는 것.

제안 방법

• 행렬 A의 블록 인코딩을 사용하여 A의 스펙트럼을 효율적으로 다룰 수 있도록 하며, 이를 통해 양자 특이값 변환(SVT)을 활용한다.
• 핵심 서브루틴으로는 양자 트레이스 추정이 있다. 이는 앰플리튜드 추정과 제어 유니터리 연산을 사용하여 행렬 함수의 트레이스를 추정한다.
• 로그(λ) 또는 1/λ와 같은 함수를 고유값에 적용하기 위해 체비셰프 또는 테일러 전개와 같은 다항식 근사 기법을 사용한다.
• A/μ에 대한 (μ, log n, 0)-블록 인코딩에 액세스할 수 있다고 가정하며, 이를 통해 원하는 정밀도까지 f(A)를 효율적으로 구현할 수 있다.
• 근사 오차(다항식 전개에서 발생하는 오차)와 추정 오차(트레이스 추정에서 발생하는 오차)를 결합하여 오차 한계를 도출하며, 상대 오차 보장을 얻는다.
• 역행렬의 트레이스 추정의 경우, 1/λ에 대한 유리함수 근사를 블록 인코딩으로 구성한 후, 제어된 오차를 가진 트레이스 추정을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 알고리즘이 로그 행렬식과 본 네만 엔트로피와 같은 스펙트럴 합 추정에 대해 행렬 크기의 선형 이하 런타임을 달성할 수 있는가?
• RQ2 기존의 비결정적 랜덤화 방법과 비교해 조건 수, 오차 허용 범위, 행렬 흐린도에 따라 양자 접근 방식의 스케일링 특성은 어떻게 되는가?
• RQ3 음의 고유값을 포함하는 스펙트럴 합 추정(예: Estrada 지수)에서 현재의 양자 알고리즘의 한계는 무엇인가?
• RQ4 양자 특이값 변환은 비-SPD 행렬과 고유값에 정의된 함수를 다룰 수 있도록 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ5 이러한 양자 스펙트럴 합 추정기의 실용적 응용은 기계 학습, 통계 및 네트워크 분석 분야에서 어떤가?

주요 결과

• 역행렬의 트레이스 추정에 대해 제안된 양자 알고리즘은 Õ(μ²κ²‖A‖/ε)의 런타임을 달성한다. 여기서 μ는 스케일링 인자, κ는 조건 수, ε는 오차 허용 범위이다.
• 로그 행렬식과 본 네만 엔트로피와 같은 스펙트럴 합의 경우, 알고리즘은 n(행렬 크기)에 대해 다항로그 형태로 스케일링되며, 조건 수와 오차에 대해 다항식적 의존성을 가지므로, 기존의 비결정적 방법 대비 선형 이하의 가속 성능을 제공한다.
• 이 프레임워크는 특이값을 통해 비-SPD 행렬로 일반화되어, 유사한 복잡도 한계를 가진 샤텐-피 노름 추정이 가능하다.
• 역행렬의 트레이스 추정 알고리즘은 상대 오차 ε를 갖는 복잡도 Õ(μ²κ²‖A‖/ε)를 달성하며, 이는 비결정적 방법이 비제로 원소 수에 대해 선형으로 증가하는 것과 비교해 개선된 성능을 보인다.
• 현재의 SVT 기반 방법으로는 음의 고유값이 존재하는 경우 Estrada 지수를 효율적으로 추정할 수 없다. 대신 양자 신호 처리나 스펙트럴 시프팅을 활용한 대안적 접근 방식이 제안된다.
• 이 작업은 공분산 행렬의 로그 행렬식 추정, 삼각형 수 계산, 그래프에서의 스패닝 트리 수 세기 등의 응용을 위한 양자 서브루틴의 기초를 마련한다.