[논문 리뷰] Rapoport-Zink Spaces For Local P-Shtukas and Their Local Models

Esmail Arasteh Rad|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 09.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 함수체 위의 국소 𝔓-shtuka와 관련된 Rapoport-Zink 공간에 대한 국소 모델을 수립하여, 전역 𝔈-shtuka에 대한 국소 모델 이론의 국소 해석을 완성한다. 국소 모델 정리(Flatness criterion)를 증명함으로써, Kottwitz-Rapoport 분할, 프로베니우스의 단순(trace) 추적, 그리고 일반성에서의 코homological 사이클 구성에 응용할 수 있으며, 이로써 그 일반성의 코homology에 유한차원 Chow 링에 대한 모듈러 구조를 도입한다.

ABSTRACT

In this article we first survey the analogy between Shimura varieties (resp. Rapoport-Zink spaces) and moduli stacks for global G-shtukas (resp. Rapooprt Zink spaces for local P-shtukas). This part is intended to enrich the dictionary between the arithmetic of number fields and function fields a bit further. Furthermore, to complete this picture, we also study some local properties of Rapoport-Zink spaces for local P-shtukas by constructing local models for them. This provides a "local" complementary to a previous work of the author, which was devoted to the study of the local models for the moduli stacks of global G-shtukas. We also discuss some of its applications.

연구 동기 및 목표

• 수체 위의 셰이머 다양체와 함수체 위의 전역 𝔈-shtuka 모듈리 공간 사이의 유사성을 완성하기 위해 국소 𝔓-shtuka에 대한 국소 이론을 개발함으로써, 수체 이론과 함수체 이론 간의 대응을 완성한다.
• 이전 연구에서 확립된 전역 𝔈-shtuka에 대한 국소 모델 이론을 모방하여, 국소 𝔓-shtuka의 Rapoport-Zink 공간에 대한 국소 모델을 구축한다.
• 이러한 Rapoport-Zink 공간의 특이점과 평탄성 성질을 명확히 하는 국소 기하적 프레임워크를 제공한다.
• 국소 모델 이론을 응용하여 특수 및 일반성에서의 분할과 코homological 불변량과 같은 전반적 결과를 도출한다.
• 사이클 사상들을 통해 특수성의 코homology에 유한차원 Chow 링에 대한 모듈러 구조를 일반성의 코homology에 도입한다.

제안 방법

• 𝔓는 𝔻 = 𝔽_q[[z]] 위에 정의된 평탄한 애초 군 스킴이며, 일반성에서 연결된 재수성 리 군을 가지는 일반적인 설정에서 국소 𝔓-shtuka의 Rapoport-Zink 공간에 대한 국소 모델을 구성한다.
• 국소 모델 정리(정리 3.12)를 적용하여, 진정한 국소 모델 M_loc에서 반사 링으로의 평탄한 사상이 존재함을 보장하며, 난이도 있는 모델의 수정을 통해 평탄성을 확보한다.
• 국소 모델 다이어그램을 사용하여, 유계 조건의 특수성과 Rapoport-Zink 공간의 일반성 사이의 대응을 정의한다.
• Demazure 분해를 통한 슈베르트 다양체의 분해 정리를 활용하여, 특수성의 코homology를 분석하기 위해 Leray 스펙트럴 시퀀스를 적용한다.
• 모티브적 분해 정리와 Leray-Hirsch 정리를 적용하여, 매끄러운 슈베르트 다양체의 모티브가 혼합 타이트(mixed Tate)임을 보이고, 이로부터 유한차원 Chow 군을 유도한다.
• 사이클 클래스 사상과 사이클의 푸시포워드를 조합하여, 일반성의 컴actly supported ℓ-adic 코homology에 특수성의 Chow 링 위의 모듈러 구조를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수체의 경우와 유사하게 함수체 설정에서 국소 𝔓-shtuka의 Rapoport-Zink 공간에 대한 국소 모델을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 국소 모델 정리가 이러한 Rapoport-Zink 공간의 평탄성과 특이점에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 국소 모델 이론을 어떻게 활용하여 특수성에서의 분할, 예를 들어 Kottwitz-Rapoport 분할을 정의할 수 있는가?
• RQ4 국소 모델 이론은 이러한 공간의 코homology에서 프로베니우스의 단순 추적을 계산하는 데 어떤 방식으로 기여하는가?
• RQ5 사이클 사상들을 통해 일반성의 코homology에 특수성의 Chow 링 위의 모듈러 구조를 도입할 수 있는가?

주요 결과

• 국소 모델 정리(정리 3.12)는 진정한 국소 모델 M_loc에서 반사 링으로의 평탄한 사상이 존재함을 보장하며, 난이도 있는 모델 M_naive에서 발생하는 평탄성 문제를 해결한다.
• 국소 모델의 구성은 국소 𝔓-shtuka의 Rapoport-Zink 공간이 반사 링에서 평탄한지에 대한 기준을 제공한다.
• Rapoport-Zink 공간의 특수성에서 Kottwitz-Rapoport 분할은 국소 모델 다이어그램을 통해 구성된다.
• 일반성의 코homology에서 프로베니우스의 단순 추적은 와이어드 아핀 플래그 다양체 내 슈베르트 다양체와 관련이 있으며, 이를 통해 코homological 계산이 가능해진다.
• 특수성 Z가 기약적이고 매끄럽다면, 일반성의 컴팩트하게 지정된 ℓ-adic 코homology는 특수성 Z의 유한차원 Chow 링 Ch*(Z) 위의 모듈러 구조를 지닌다.
• 특수성 Z가 매끄럽고 기약적이라면, 모티브 M(Z)는 혼합 타이트 모티브의 직접 합성분이 되며, 이는 모든 i에 대해 Ch^i(Z)가 유한차원임을 의미한다.