[논문 리뷰] Solving Weighted Voting Game Design Problems Optimally: Representations, Synthesis, and Enumeration

Bart de Keijzer, Tomas Klos외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 23.

Game Theory and Voting Systems참고 문헌 46인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 목표로 하는 권력 지수 분포와 일치하는 가중 투표 게임을 최적으로 합성함으로써 가중 투표 게임 설계 문제를 정확하고 언제나 가능한 알고리즘으로 해결하는 방법을 제시한다. 출력 다항 시간 내에 수행되는 새로운 순열 방법을 도입하여 가중 투표 게임의 공간에서 효율적인 탐색을 가능하게 하며, 정규화된 반바지 지수에 대한 실험을 통해 지수적 실행 시간 복잡도에도 불구하고 소규모 인스턴스에서 수렴하는 것으로 입증된다.

ABSTRACT

We study the inverse power index problem for weighted voting games: the problem of finding a weighted voting game in which the power of the players is as close as possible to a certain target distribution. Our goal is to find algorithms that solve this problem exactly. Thereto, we study various subclasses of simple games, and their associated representation methods. We survey algorithms and impossibility results for the synthesis problem, i.e., converting a representation of a simple game into another representation.
 We contribute to the synthesis problem by showing that it is impossible to compute in polynomial time the list of ceiling coalitions (also known as shift-maximal losing coalitions) of a game from its list of roof coalitions (also known as shift-minimal winning coalitions), and vice versa.
 Then, we proceed by studying the problem of enumerating the set of weighted voting games. We present first a naive algorithm for this, running in doubly exponential time. Using our knowledge of the synthesis problem, we then improve on this naive algorithm, and we obtain an enumeration algorithm that runs in quadratic exponential time (that is, O(2^(n^2) p(n)) for a polynomial p). Moreover, we show that this algorithm runs in output-polynomial time, making it the best possible enumeration algorithm up to a polynomial factor.
 Finally, we propose an exact anytime algorithm for the inverse power index problem that runs in exponential time. This algorithm is straightforward and general: it computes the error for each game enumerated, and outputs the game that minimizes this error. By the genericity of our approach, our algorithm can be used to find a weighted voting game that optimizes any exponential time computable function. We implement our algorithm for the case of the normalized Banzhaf index, and we perform experiments in order to study performance and error convergence

연구 동기 및 목표

• 목표로 하는 권력 지수 분포와 가능한 한 가까운 가중 투표 게임을 찾음으로써 가중 투표 게임 설계의 역 문제를 해결하는 것.
• 가중 투표 게임 위에서 다항 시간으로 계산 가능한 임의의 함수를 최적화할 수 있는 정확하고 일반적인 알고리즘을 개발하는 것.
• 절단 히ュ리스틱스를 활용한 체계적 순열을 통해 국소 탐색 방법보다 최적성 보장을 제공함으로써 기존 방법을 향상시키는 것.
• 실제 문제 크기에서 가중 투표 게임을 순열하는 데 필요한 계산 복잡도와 가능성을 분석하는 것.
• 소규모 인스턴스에서 알고리즘의 오차 수렴 및 런타임 성능을 실험적으로 평가하는 것.

제안 방법

• 모든 가중 투표 게임을 생성하기 위해 이중 지수 시간 내에 수행되는 단순 순열 알고리즘을 제안한다.
• 지붕 및 천장 협동군 간의 합성 결과를 활용하여 순열을 개선함으로써 시간 복잡도를 이차 지수 시간($O(2^{n^2} \cdot p(n))$)로 감소시킨다.
• 체계적인 탐색을 가능하게 하고 열열된 영역을 제거하기 위해 가중 투표 게임에 대한 부분 순서를 도입한다.
• 각 순열된 게임의 오차를 계산하고 지금까지 찾은 최고의 해를 반환하는 언제나 알고리즘을 개발한다.
• 순열 과정 중 각 게임의 정규화된 반바지 지수를 계산하기 위해 선형 프로그래밍 기법을 활용한다.
• 소규모 인스턴스($n \leq 9$)에서 런타임 및 오차 수렴을 연구하기 위해 최적화되지 않은 알고리즘 버전을 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중 투표 게임 설계 문제는 정확한 순열 기반 접근을 통해 최적으로 해결될 수 있는가?
• RQ2 가중 투표 게임을 위한 출력-다항 시간 내에 수행되는 순열 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ3 지붕 및 천장 협동군 간의 합성 문제는 다항 시간 내에 해결될 수 있는가, 아니면 본질적으로 어려운 문제인가?
• RQ4 언제나 알고리즘에서 오차는 얼마나 빨리 수렴하는가, 그리고 런타임과 해 품질 간의 상충 관계는 어떠한가?
• RQ5 가중 투표 게임에 대한 부분 순서를 활용하여 최적성 보장을 유지하면서도 탐색 공간의 대부분을 잘라낼 수 있는가?

주요 결과

• 순열 알고리즘이 출력-다항 시간 내에 수행되어, 문제의 이중 지수 시간 worst-case 크기에도 불구하고 다항 요소까지는 최선의 결과를 낼 수 있다.
• 지붕 협동군에서 천장 협동군 목록을 다항 시간 내에 계산하는 것은 불가능하며, 이는 합성 문제에 대한 근본적인 난이도 결과를 입증한다.
• 현재 구현 기준으로 $n = 10$에서는 런타임이 수십 년에서 수천 년에 이르는 것으로 추정되어 최적화가 필요함을 시사한다.
• $n \leq 9$의 경우, 알고리즘이 최소 승리 협동군 수 $m$을 가진 표준 가중 투표 게임의 정확한 수를 성공적으로 계산하여 기존의 점근적 성장 패턴을 확인한다.
• 실험적으로 오차 수렴이 관찰되었지만, $n$이 커질수록 수렴 속도가著적으로 감소하여 추가 최적화 없이선 실용적 사용이 제한됨을 보여준다.
• 알고리즘은 일반 목적의 것으로, 권력 지수 외에도 가중 투표 게임 위에서 다항 시간으로 계산 가능한 임의의 함수를 최적화하는 데도 적용 가능하다.