[논문 리뷰] Space- and Time-Efficient Algorithm for Maintaining Dense Subgraphs on One-Pass Dynamic Streams

Sayan Bhattacharya, Monika Henzinger외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 09.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 최적의 공간 복잡도와 근사적으로 일정한 갱신 시간을 갖는 첫 번째 단일 패ass 동적 스트리밍 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘은 $\tilde{O}(n)$ 공간과 $\tilde{O}(1)$ 평균 갱신 및 쿼리 시간을 사용하여 $(4+\epsilon)$-근사치를 달성하며, 이는 이전의 다중 패스 접근 방식에 비해 크게 향상되었고, 시간 및 공간 효율적인 그래프 스트리밍 처리의 새로운 기준을 설정한다.

ABSTRACT

While in many graph mining applications it is crucial to handle a stream of updates efficiently in terms of {\em both} time and space, not much was known about achieving such type of algorithm. In this paper we study this issue for a problem which lies at the core of many graph mining applications called {\em densest subgraph problem}. We develop an algorithm that achieves time- and space-efficiency for this problem simultaneously. It is one of the first of its kind for graph problems to the best of our knowledge. In a graph $G = (V, E)$, the "density" of a subgraph induced by a subset of nodes $S \subseteq V$ is defined as $|E(S)|/|S|$, where $E(S)$ is the set of edges in $E$ with both endpoints in $S$. In the densest subgraph problem, the goal is to find a subset of nodes that maximizes the density of the corresponding induced subgraph. For any $ε>0$, we present a dynamic algorithm that, with high probability, maintains a $(4+ε)$-approximation to the densest subgraph problem under a sequence of edge insertions and deletions in a graph with $n$ nodes. It uses $ ilde O(n)$ space, and has an amortized update time of $ ilde O(1)$ and a query time of $ ilde O(1)$. Here, $ ilde O$ hides a $O(\poly\log_{1+ε} n)$ term. The approximation ratio can be improved to $(2+ε)$ at the cost of increasing the query time to $ ilde O(n)$. It can be extended to a $(2+ε)$-approximation sublinear-time algorithm and a distributed-streaming algorithm. Our algorithm is the first streaming algorithm that can maintain the densest subgraph in {\em one pass}. The previously best algorithm in this setting required $O(\log n)$ passes [Bahmani, Kumar and Vassilvitskii, VLDB'12]. The space required by our algorithm is tight up to a polylogarithmic factor.

연구 동기 및 목표

• 최소한의 공간 및 시간 오버헤드로 동적 그래프 스트림에서 조밀한 부분그래프를 유지하는 데 도전하는 것.
• 단일 패스에서 간선 삽입 및 삭제를 효율적으로 지원하는 스트리밍 알고리즘을 설계하는 것.
• 강력한 근사 보장을 유지하면서도 근사적으로 일정한 갱신 및 쿼리 시간을 달성하는 것.
• 이론적 스트리밍 모델과 실용적인 동적 그래프 워크로드 사이의 격차를 메우기 위해 실시간 분석을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 알고리즘은 동적 업데이트 하에서 조밀한 부분그래프의 구조적 성질을 유지하기 위해 새로운 $(\alpha,d,L)$-분해를 사용한다.
• 효율적인 간선 샘플링과 그래프의 압축된 스케치 유지에 위해 $\ell_0$-샘플링과 균일한 해싱을 활용한다.
• 잠재 함수 기반 분석을 통해 각 업데이트당 구조적 변화 수를 제한함으로써 평균 $\tilde{O}(1)$ 갱신 시간을 보장한다.
• 알고리즘은 시간을 희박한 구간과 조밀한 구간으로 동적으로 분할하고, 간선 조밀도에 따라 다른 최적화 전략을 적용한다.
• 조밀한 구간에서는 빠른 근사치를 가능하게 하기 위해 샘플된 간선 집합을 유지하는 특수 서브루틴인 Dynamic-Stream을 사용한다.
• 집중 경계와 다항로그 요소를 활용하여 $\tilde{O}(n)$ 공간에서 높은 확률로 정확성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 패스 동적 스트리밍 알고리즘이 $\tilde{O}(n)$ 공간과 $\tilde{O}(1)$ 평균 갱신 시간을 사용하여 $(4+\epsilon)$-근사치의 조밀한 부분그래프를 유지할 수 있는가?
• RQ2 동적 그래프 스트림에서 강력한 근사 비율을 유지하면서도 부분선형 쿼리 시간을 달성할 수 있는가?
• RQ3 알고리즘이 최소한의 통신으로 부분선형 시간 및 분산 스트리밍 설정을 지원하도록 확장될 수 있는가?
• RQ4 공간 및 시간 효율적인 동적 조밀한 부분그래프 알고리즘의 근사 비율에 대한 이론적 한계는 무엇인가?
• RQ5 유사한 기법이 동적 스트림에서 최대 매칭이나 최단 경로와 같은 다른 기본 그래프 문제에 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 알고리즘은 $\tilde{O}(n)$ 공간과 $\tilde{O}(1)$ 평균 갱신 및 쿼리 시간을 사용하여 조밀한 부분그래프 문제에 대해 $(4+\epsilon)$-근사치를 달성한다.
• 비용으로 $\tilde{O}(n)$ 쿼리 시간을 감수함으로써 근사 비율을 $(2+\epsilon)$으로 향상시킬 수 있으며, 이는 부분선형 시간 알고리즘을 가능하게 한다.
• 이 알고리즘은 동적 스트림을 한 번만 스캔함으로써 조밀한 부분그래프를 유지하는 데 있어 최초의 사례이다. 이는 이전의 $O(\log n)$-패스 요구 조건을 개선한 것이다.
• 방향 그래프, 부분선형 시간 알고리즘, $\tilde{O}(k+n)$ 통신을 사용하는 분산 스트리밍 모델로의 확장도 지원한다.
• 다중 당사자 통신 모델에서 $\tilde{\Omega}(n/k^2)$의 하한선을 통해 공간 복잡도가 다항로그 요소까지 날카롭게 조밀하다는 것이 입증되었다.
• $\lambda$-근사 알고리즘에 대한 난이도 결과는 $\tilde{\Omega}(n/\lambda^2)$의 쿼리 수가 필수적임을 시사하며, 이는 공간 복잡도의 최적성에 대한 지원을 제공한다.