[논문 리뷰] Strict local martingales, bubbles

Constantinos Kardaras, Doerte Kreher외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 21.

Stochastic processes and financial applications인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 엄밀한 국소 martingale를 사용하여 자산 가격 버블을 모델링하고, 그 역학을 분석하기 위한 새로운 측도를 도입한다. 기초 자산이 이러한 과정을 따를 경우, 위험 중립 옵션 가격에 내장된 디폴트 기간을 유도하며, 경로에 따라 변하는 옵션과 최종 통과 시간에 대한 명시적 공식을 제공한다.

ABSTRACT

This paper deals with asset price bubbles modeled by strict local martingales. With any strict local martingale, one can associate a new measure, which is studied in detail in the first part of the paper. In the second part, we determine the default term apparent in risk-neutral option prices if the underlying stock exhibits a bubble modeled by a strict local martingale. Results for certain path dependent options and last passage time formulas are given.

연구 동기 및 목표

• 엄밀한 국소 martingale를 사용하여 자산 가격 버블의 수학적 구조를 형식화하기 위해.
• 엄밀한 국소 martingale와 관련된 새로운 확률 측도를 도입하고 그 성질을 연구하여 버블 행동을 분석하기 위해.
• 버블이 위험 중립 옵션 가격에 미치는 영향, 특히 내장된 디폴트 기간을 규명하기 위해.
• 엄밀한 국소 martingale 모델 하에서 경로에 따라 변하는 옵션의 명시적 가격 공식을 도출하기 위해.
• 금융 시장에서의 버블 역학과 관련된 최종 통과 시간 공식을 수립하기 위해.

제안 방법

• 엄밀한 국소 martingale에서 유도된 새로운 확률 측도를 구성하여 그 성질을 분석하기 위해.
• Girsanov 정리와 국소 martingale 이론을 적용하여 새로운 측도 하에서의 역학을 변환하기 위해.
• 엄밀한 국소 martingale의 드리프트 및 변동성 구조를 분석하여 버블 특성을 규명하기 위해.
• 기초 자산이 엄밀한 국소 martingale를 따를 것이라는 가정 하에 위험 중립 옵션 가격을 도출하기 위해.
• 익스кур전 이론과 최종 통과 시간 분포를 사용하여 버블 상황에서의 디폴트까지의 시간을 모델링하기 위해.
• 경로 기반 확률 미적분을 적용하여 가격 과정의 최대값 또는 소비 시간에 의존하는 옵션의 가격 공식을 유도하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엄밀한 국소 martingale는 자산 가격 버블을 수학적으로 일관되게 어떻게 모델링할 수 있는가?
• RQ2 엄밀한 국소 martingale로 모델링된 버블이 옵션의 위험 중립 가격에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 기초 자산이 버블을 보일 경우 옵션 가격에 내장된 디폴트 기간은 무엇인가?
• RQ4 엄밀한 국소 martingale 모델 하에서 경로에 따라 변하는 옵션 가격은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 엄밀한 국소 martingale에 대한 최종 통과 시간 분포는 무엇이며, 버블 붕괴와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 자산 가격에 대한 엄밀한 국소 martingale 모델은 가격 과정이 국소 martingale이지만 진정한 martingale는 아니며, 이는 버블 존재를 시사한다.
• 논문에서 도입된 새로운 측도는 버블 성분의 역학을 특성화하며, 그 통계적 성질 분석을 가능하게 한다.
• 위험 중립 옵션 가격은 버블이 만기 이전에 붕괴될 가능성을 반영하는 디폴트 기간을 포함한다.
• 일부 경로에 따라 변하는 옵션의 경우, 가격 과정의 최종 통과 시간에 기반한 명시적 가격 공식이 도출된다.
• 엄밀한 국소 martingale 하에서의 최종 통과 시간 분포는 긴 수명의 버블 가능성을 반영하여 무거운 尾행동을 보인다.
• 이 모델은 엄밀한 국소 martingale 하에서 옵션 가격이 진정한 martingale 하에서의 가격보다 체계적으로 낮을 수 있음을 시사하며, 이는 버블 리스크를 반영한다.