[논문 리뷰] Strong Approximation of Iterated Ito and Stratonovich Stochastic Integrals Based on Generalized Multiple Fourier Series. Application to Numerical Solution of Ito SDEs and Semilinear SPDEs

Dmitriy F. Kuznetsov|ArXiv.org|2020. 03. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 111인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 L²([t,T]^k)에서 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용하여 임의의 차수 k ∈ ℕ에 대해 반복 이토 및 스트라토니비치 확률적 적분의 강한(평균제곱) 근사화에 대한 새로운 방법을 제시한다. 정규직교 체계인 레지온드르 다항식과 삼각함수를 활용함으로써, 추적-클래스 노이즈를 가진 이토 SDE와 양방향 SPDE의 고차수 수치적 해법이 가능해지며, 강한 수렴 차수 1.0에서 3.0까지 달성하고 오차 공식의 단순화를 통해 계산 비용을 크게 감소시킨다.

ABSTRACT

The book is devoted to the strong approximation of iterated stochastic integrals (ISIs) in the context of numerical integration of Ito SDEs and non-commutative semilinear SPDEs with nonlinear multiplicative trace class noise. The monograph opens up a new direction in researching of ISIs. For the first time we successfully use the generalized multiple Fourier series converging in the sense of norm in $L_2([t, T]^k)$ for the expansion and strong approximation of Ito ISIs of multiplicity $k,$ $k\in{\bf N}$ (Chapter 1). This result has been adapted for Stratonovich ISIs of multiplicities 1 to 8 (the case of continuously differentiable weight functions and a CONS of Legendre polynomials or trigonometric functions in $L_2([t, T])$) and for Stratonovich ISIs of multiplicities 1 to 6 (the case of continuous weight functions and an arbitrary CONS in $L_2([t, T])$) (Chapter 2), as well as for some other types of iterated stochastic integrals (Chapter 1). Recently (in 2024), the mentioned adaptation has also been carried out for Stratonovich ISIs of multiplicity $k$ $(k\in{\bf N})$ for the case of an arbitrary CONS in $L_2([t, T])$ (Theorems 2.59, 2.61) but under one additional condition. We derived the exact and approximate expressions for the mean-square error of approximation of Ito ISIs of multiplicity $k$, $k\in{\bf N}$ (Chapter 1). We provided a significant practical material (Chapter 5) devoted to the expansions of specific Ito and Stratonovich ISIs of multiplicities 1 to 6 from the Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich expansions (Chapter 4) using the CONS of Legendre polynomials and the CONS of trigonometric functions. The methods formulated in this book have been compared with some existing methods (Chapter 6). The results of Chapter 1 were applied (Chapter 7) to the approximation of ISIs of multiplicity $k,$ $k\in{\bf N}$ with respect to the $Q$-Wiener process.

연구 동기 및 목표

• 임의의 차수 k ∈ ℕ에 대해 반복 이토 및 스트라토니비치 확률적 적분의 체계적 강한 근사화 방법 개발.
• 추적-클래스 노이즈를 가진 이토 SDE와 비가환성 양방향 SPDE의 고차수 수치적 통합 가능화.
• 오차 공식의 단순화를 통한 계산 비용 감소, 오차 표현식 내 계승수를 실질적으로 선형 항으로 대체.
• 유한차원 및 무한차원 Q-와이너 과정을 위한 실용적 수치 구현을 위한 방법 확장.
• SDE 및 SPDE에 적용 가능한 테일러-이토 및 테일러-스트라토니비치 전개의 통합 프레임워크 제공.

제안 방법

• 임의의 차수 k에 대한 반복 이토 확률적 적분의 강한 근사화를 위해 L²([t,T]^k)에서 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용.
• 완전한 정규직교 체계인 레지온드르 다항식과 삼각함수를 적용하여 힐버트 공간 L²([t,T])에서의 수렴 확보.
• 이토 확률적 적분의 계열에 대해 통합 순서 교체 기법 도입 및 마팅게일 기반 적분으로 일반화.
• 수치 정확도 향상을 위한 두 가지 새로운 형태의 테일러-이토 및 테일러-스트라토니비치 전개(통합 전개) 개발.
• 사전 계산된 푸리에-레지온드르 계수(270,000 항)를 활용한 파이썬 소프트웨어 기반 구현을 통한 효율적 수치 시뮬레이션.
• 유한차원 WM^t 및 무한차원 Q-와이너 과정 Wt에 대한 적분 근사화를 위해 차수 1~3에 대해 적용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 L²([t,T]^k)에서 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용하여 임의의 차수에 대한 반복 이토 및 스트라토니비치 확률적 적분의 강한(평균제곱) 근사화가 가능할 수 있는가?
• RQ2 차수 1에서 6까지의 반복 이토 및 스트라토니비치 적분에 대한 평균제곱 근사 오차의 정확한 형태는 무엇인가?
• RQ3 이러한 적분 근사화의 계산 비용을 수렴 차수를 유지하면서 어떻게 감소시킬 수 있는가?
• RQ4 특히 오차 표현식 내 계승수 항에 대해 실질적으로 오차 공식을 얼마나 단순화시킬 수 있는가?
• RQ5 이 방법을 추적-클래스 노이즈를 가진 양방향 SPDE의 고차수 테일러 유형 전개를 통한 수치적 해법으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 차수 k ∈ ℕ에 대한 반복 이토 확률적 적분의 평균제곱 근사 오차에 대한 정확한 표현식을 확립하였다.
• 차수 1에서 4까지의 반복 스트라토니비치 적분에 대해 정확한 오차 표현식을 유도하여 수치적 알고리즘에서 정밀한 오차 제어 가능.
• 통합 테일러-이토 및 테일러-스트라토니비치 전개를 활용해 강한 수렴 차수 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0를 달성.
• 계산 실험 결과, 오차 공식 내 계승수 곱인 k! (예: (1.153))는 실질적으로 무시할 수 있으며, 이로 인해 계산 비용이 크게 감소.
• 오차 공식 (7.32) 내 (k!)² 항은 실질 계산에서는 k!로 대체해도 정확도 손실 없이 적용 가능.
• 유한차원 및 무한차원 Q-와이너 과정에 대한 적분 근사 오차에 대한 이론적 경계를 도출하였으며, 적절한 조건 하에 수렴 속도가 O((sup_{i∈J extbackslash JM} λ_i)^{2α}(T−t)^3)임을 보였다.