[논문 리뷰] Strong convergence rates for a full discretization of stochastic wave equation with nonlinear damping

Meng Cai, David Cohen외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 05.

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance참고 문헌 46인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 1차원 및 2차원에서 비선형 감쇠를 갖는 스토하스틱 웨이브 방정식의 완전 이산화에 대해 강한 수렴 속도를 확립한다. 공간에 스펙트럼 갈레르킨 방법을, 시간에 수정된 음의 지수 오일러 스킴을 적용함으로써, 1차원에서는 공간에서 순서 $\frac{1}{2}$, 시간에서 순서 $1$ 의 수렴 속도를 달성하며, 2차원에서는 소수의 무한소 인자로 인해 수렴 속도가 감소한다. 이는 전체 근사값에 대한 모멘트 유계 조건을 필요로 하지 않는다.

ABSTRACT

The paper establishes the strong convergence rates of a spatio-temporal full discretization of the stochastic wave equation with nonlinear damping in dimension one and two. We discretize the SPDE by applying a spectral Galerkin method in space and a modified implicit exponential Euler scheme in time. The presence of the super-linearly growing damping in the underlying model brings challenges into the error analysis. To address these difficulties, we first achieve upper mean-square error bounds, and then obtain mean-square convergence rates of the considered numerical solution. This is done without requiring the moment bounds of the full approximations. The main result shows that, in dimension one, the scheme admits a convergence rate of order $ frac12$ in space and order $1$ in time. In dimension two, the error analysis is more subtle and can be done at the expense of an order reduction due to an infinitesimal factor. Numerical experiments are performed and confirm our theoretical findings.

연구 동기 및 목표

• 1차원 및 2차원에서 비선형 감쇠를 갖는 스토하스틱 웨이브 방정식의 완전 이산화에 대해 강한 수렴 속도를 확립한다.
• 오차 분석에서 초선형 증가하는 감쇠 항이 초래하는 과제를 다룬다.
• 전체 근사값에 대한 모멘트 유계 조건을 필요로 하지 않는 최적의 수렴 속도를 달성하는 수치적 방법을 개발한다.
• 1D 및 2D 환경에서의 수치 실험을 통해 이론적 결과를 검증한다.

제안 방법

• 공간 이산화에 스펙트럼 갈레르킨 방법을 적용하여, 라플라스 연산자의 고유함수로 생성된 유한차원 부분공간 위로 SPDE를 투영한다.
• 시간 이산화에 수정된 음의 지수 오일러 스킴을 사용하며, 비선형 감쇠를 다루고 안정성을 유지하도록 설계되었다.
• 오차 분석은 이토의 공식과 스토하스틱 적분 추정을 활용한 상한 평균 제곱 오차 유계를 통해 수행된다.
• 핵심 추정은 솔루션과 그 증분에 대한 모멘트 유계 및 소벨레프 포함 부등식을 이용해 잔여항을 유계화하는 데 있다.
• 분석 과정에서 전체 수치 근사값에 대한 사전 모멘트 유계 조건을 요구하지 않아, 수렴 결과의 강건성을 향상시켰다.
• 이산화된 스킴에서 잔여항의 조건부 기대값을 정밀하게 추정함으로써 이론적 수렴 속도를 유도하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1차원에서 비선형 감쇠를 갖는 스토하스틱 웨이브 방정식의 완전 이산화 스킴의 강한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 초선형 증가하는 감쇠의 존재는 수치 스킴의 오차 분석과 수렴 속도에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 전체 수치 근사값에 대한 모멘트 유계 조건을 부과하지 않고도 2차원에서 최적의 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ4 공간 차원이 수렴 속도에 미치는 영향은 무엇인가? 특히 소벨레프 포함 및 무한소 인자와의 관계에서 살펴본다.
• RQ5 이론적 수렴 속도는 수치 실험의 경험적 결과와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 1차원에서는 제안된 완전 이산화가 공간에서 순서 $\frac{1}{2}$, 시간에서 순서 $1$ 의 강한 수렴 속도를 달성한다.
• 2차원에서는 소벨레프 포함 부등식에서 기인하는 무한소 인자로 인해 수렴 속도가 감소하며, 소수 $\epsilon > 0$ 에 대해 순서 $\tau^{4 - \frac{4\epsilon}{2 + \epsilon}}$ 의 수렴 속도를 보인다.
• 오차 분석 과정에서 전체 수치 근사값에 대한 사전 모멘트 유계 조건이 필요로 하지 않아, 이론적 프레임워크의 강력함이 향상된다.
• 수치 실험 결과는 이론적 수렴 속도를 확인한다: 1D 및 2D 모두에서 시간 수렴 순서는 $1$, 1D에서는 공간 수렴 순서는 $\frac{1}{2}$ 이다.
• 수치 시뮬레이션에서의 평균 제곱 오차의 로그-로그 플롯은 이론적 예측 속도와 밀도 있게 일치하여 분석의 타당성을 검증한다.
• 세밀한 시간 간격($\tau = 2^{-10}$)으로 계산된 기준 솔루션은 신뢰할 수 있는 오차 추정을 보장하며, 몬테카를로 오차는 무시할 만큼 작다.