[논문 리뷰] Tensor networks as conformal transformations

Ashley Milsted, Guifré Vidal|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 31.

Quantum many-body systems참고 문헌 17인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 비균일한(국소적인) 콫라프트 변환—특히 비균일한 유클리드 시간 진동과 스케일 변환—을 비균일한 양자 스핀 체인에서 텐서 네트워크를 사용하여 구현하는 방법을 제안한다. 잘린 텐서 네트워크 층의 끝에 특수한 '스무딩 텐서'를 도입함으로써, 저에너지 상태에서 conformal field theory(CFT) 변환을 정확하게 모사하는 네트워크를 구성함을 보여주며, 임계 이징 체인에서의 수치적 검증을 통해 CFT 내부의 동일한 타워 내에서 정확한 대각행렬 작용과 비균일 맵에 대한 정확한 행렬 원소를 확보하였다.

ABSTRACT

Tensor networks are often used to accurately represent ground states of quantum spin chains. Two popular choices of such tensor network representations can be seen to implement linear maps that correspond, respectively, to euclidean time evolution and to global scale transformations. In this paper, by exploiting the local structure of the tensor networks, we explain how to also implement local or non-uniform versions of both euclidean time evolution and scale transformations. We demonstrate our proposal with a critical quantum spin chain on a finite circle, where the low energy physics is described by a conformal field theory (CFT), and where non-uniform euclidean time evolution and local scale transformations are conformal transformations acting on the Hilbert space of the CFT. We numerically show, for the critical quantum Ising chain, that the proposed tensor networks indeed transform the low energy states of the periodic spin chain in the same way as the corresponding conformal transformations do in the CFT.

연구 동기 및 목표

• 비균일한 양자 스핀 체인에서 전역적 텐서 네트워크 맵(유클리드 시간 진동과 스케일 변환)을 국소적 비균일 버전으로 확장한다.
• 이산적인 구조로 인해 명시적으로 깨진 격자 모델에서의 잠재적 콕라프트 대칭성을 복원한다.
• 텐서 네트워크를 콕라프트 필드 이론 변환과 연결하여 기하학적 해석을 제공한다.
• 비가역적 프레임워크를 구축하여 곡면 시공간 내 상호작용을 가진 양자장 이론을 연구한다.

제안 방법

• 유클리드론(시간 진동을 위한)과 MERA 텐서(스케일 변환을 위한)로 구성된 잘린 텐서 네트워크 층을 설계하고, 색인 불일치 문제를 해결하기 위해 양끝에 스무딩 텐서를 도입한다.
• 특이값 분해와 등장성 조건을 사용한 변분 최적화를 통해 스무딩 텐서를 구성하여 원래 텐서 네트워크의 구조와의 호환성을 확보한다.
• 전이 행렬의 주요 고유벡터를 사용하여 저에너지 CFT 상태로의 매핑을 유지하는 최적의 스무딩 텐서 파rameter를 결정한다.
• 결과로 도출된 텐서 네트워크를 임계 양자 이징 체인에 적용하고, 저에너지 상태에서의 작용을 정확한 CFT 예측과 비교한다.
• 맵이 CFT의 각 콕라프트 타워 내에서 대각행렬로 작용하고, 비균일 콕라프트 변환에 대한 정확한 행렬 원소를 재현함을 검증한다.
• 격자 해밀토니언의 수치적 대각화와 CFT 주요 상태와의 대응을 통해 텐서 네트워크 맵의 정당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 잘린 텐서 네트워크에 스무딩 텐서를 추가함으로써, 임계 스핀 체인의 특정 영역에서 비균일한 유클리드 시간 진동을 성공적으로 구현할 수 있는가?
• RQ2 이러한 비균일 맵은 CFT의 콕라프트 타워 내에서 대각행렬 성질을 유지하는가?
• RQ3 스핀 체인의 저에너지 상태 간 행렬 원소가 CFT의 정확한 콕라프트 변환에 대응하는가?
• RQ4 스무딩 텐서는 어떻게 체계적으로 구성되어야 하며, 텐서 네트워크 맵의 호환성과 정확도를 보장할 수 있는가?
• RQ5 이러한 텐서 네트워크는 격자 모델의 저에너지 근처에서 얼마나까지 콕라프트 대칭성을 복원하는가?

주요 결과

• 제안된 스무딩 텐서를 갖춘 텐서 네트워크는 유한한 영역에서 임계 이징 체인에 대해 비균일한 유클리드 시간 진동을 성공적으로 구현하였으며, CFT에서 예상되는 변환 작용과 정확히 일치하였다.
• 맵은 각 콕라프트 타워 내에서 대각행렬로 작용하여, 저에너지 상태가 콕라프트 필드 이론에 의해 예측된 방식으로 변환됨을 확인하였다.
• 텐서 네트워크를 통해 계산된 저에너지 상태 간 행렬 원소는 비균일 시간 진동에 대해 정확히 해당 CFT 예측과 일치하였다.
• 스무딩 텐서는 정확한 매핑을 위해 필수적이다. 이를 생략할 경우 색인 불일치와 잘못된 연결성으로 인해 콕라프트 변환이 성립하지 않는다.
• 이러한 구성은 콕라프트 대칭성이 격자에서 명시적으로 깨져 있음에도 불구하고, 텐서 네트워크의 국소적 구조와 최적화된 스무딩 텐서 덕분에 저에너지 물리에서 재결합됨을 보여주었다.
• 이 방법은 비가역적이고 수치적으로 검증된 프레임워크를 제공하며, 곡면 시공간 내 양자다체계에서의 콕라프트 변환을 시뮬레이션하는 데 유용할 수 있다.