[論文レビュー] A fibrational mate correspondence for $\infty$-categories

Rune Haugseng|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$∞$-圏におけるファイブレーション的メイト対応を確立し、$(∞,2)$-圏における随伴の体系的取り扱いを可能にする。左随伴がラックス対称モノイド関手のとき、その左随伴はオプレイス対称モノイド的であることを証明し、閉じた対称モノイド的$∞$-圏における内部ホムは各変数においてラックス対称モノイド的である。さらに、単位と余単位を用いて、双対化の完全なねじれ自然性が導かれる。

ABSTRACT

We study families of adjoints from a fibrational viewpoint, obtaining a version of the mate correspondence for (op)lax natural transformations of functors from an $\infty$-category to the $(\infty,2)$-category of $\infty$-categories. We apply this to show that the left adjoint of a lax symmetric monoidal functor is oplax symmetric monoidal and that the internal Hom in a closed symmetric monoidal $\infty$-category is lax symmetric monoidal in both variables. We also consider units and counits of such families of adjoints, and use them to derive the full (twisted) naturality of passing to the dual.

研究の動機と目的

• $(∞,2)$-圏における随伴の族を扱うファイブレーション的枠組みを構築すること。
• 古典的なメイト対応を、$∞$-圏における（オプレイス）自然変換の設定に一般化すること。
• ファイブレーション的メイト対応を、特にラックスおよびオプレイス関手の文脈における対称モノイド構造に適用すること。
• 随伴の単位と余単位を用いて、双対化への移行における完全なねじれ自然性を導出すること。
• 閉じた対称モノイド的$∞$-圏における内部ホムが各変数においてラックス対称モノイド的であることを確立すること。

提案手法

• $(∞,2)$-圏における$∞$-圏のファイブレーションを用いて、随伴の族を形式化すること。
• $∞$-圏から$∞$Catへの関手間の（オプレイス）自然変換に対して、ファイブレーション的メイト対応を構成すること。
• $∞$-圏における随伴の普遍性を用いて、ラックスおよびオプレイス構造の整合性データを導出すること。
• 随伴の族における単位と余単位の振る舞いを分析し、双対化のねじれ自然性を確立すること。
• フレームワークを対称モノイド的関手に適用し、ラックス対称モノイド関手の左随伴がオプレイス構造を引き継ぐことを示すこと。
• ファイブレーション的メイト対応を用いて、閉じた対称モノイド的$∞$-圏における内部ホムが各変数においてラックス対称モノイド的であることを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なメイト対応は、$∞$-圏における（オプレイス）自然変換の文脈にどのように拡張可能か？
• RQ2 $∞$-圏的設定において、ラックス対称モノイド関手の左随伴がどのような構造を引き継ぐか？
• RQ3 閉じた対称モノイド的$∞$-圏における内部ホムは各変数においてラックス対称モノイド的か？そして、これを圏論的にどのように証明できるか？
• RQ4 随伴の族における単位と余単位は、$∞$-圏における双対化の自然性にどのように寄与するか？
• RQ5 随伴のファイブレーション的構造から、双対化の完全なねじれ自然性を導出できるか？

主な発見

• ラックス対称モノイド関手間の$∞$-圏間の左随伴は、オプレイス対称モノイド的である。
• 閉じた対称モノイド的$∞$-圏における内部ホムは、各変数においてラックス対称モノイド的である。
• ファイブレーション的メイト対応は、$(∞,2)$-圏における（オプレイス）変換を扱う整合的な枠組みを提供する。
• 随伴の族における単位と余単位は、双対化操作の完全なねじれ自然性をもたらす。
• ファイブレーション的アプローチにより、$∞$-圏における対称モノイド的構造の整合性データを体系的に導出可能である。
• このフレームワークは、高次圏論における随伴、モノイド的構造、および双対化の取り扱いを統一する。