[论文解读] A note on the sums of powers of consecutive q-integers

Yılmaz Şimşek, D. Kim+2 more|ArXiv.org|Mar 4, 2005

Advanced Mathematical Identities参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文构建了 Barnes 伯努利数与次数为 2 的多项式的 q-类比，为 Schlosser 关于连续整数幂和的 q-类比的开放问题提供了一部分解决方案。通过生成函数与 q-伯努利数，推导出 q-和 $ S_{m,n}(q) = \sum_{j=0}^{k-1} [j]_{q^2}[j]_q^{m-1} q^{(n+1)(k-j)/2} $ 的一般公式，建立了伯努利经典求和公式的 q-类比。

ABSTRACT

In this paper we construct the q-analogue of Barnes' Bernoulli numbers and plynomials of degree 2, which is an answer to a part of Schlosser's question. Finally, we treat the q-analogue of the sums of powers of consecutive integrs.

研究动机与目标

• 解决 Schlosser 关于连续整数幂和的一般 q-类比存在的部分开放问题。
• 使用 T. Kim 的方法，构建 Barnes 伯努利数与次数为 2 的多项式的 q-类比。
• 推导出 $ S_{m,n}(q) $，即连续整数幂和的 q-类比的一般闭式公式。
• 通过生成函数的 Mellin 变换定义新的 q-ζ 函数，并将其与 q-伯努利数联系起来。

提出的方法

• 定义生成函数 $ F_{k,q}^*(t) = -t \sum_{j=0}^\infty q^{k-j} [j]_{q^2} \exp(t[j]_q q^{(k-j)/2}) $，以生成 q-伯努利数 $ \beta_{n,k,q}^* $。
• 利用二项式系数与 q-级数恒等式，推导出 $ \beta_{n,k,q}^* $ 的显式公式。
• 定义生成函数 $ F_{k,q}^*(t;k) = -t \sum_{j=0}^\infty q^{-j} [j+k]_{q^2} \exp(t[j+k]_q q^{-j/2}) $，用于 q-伯努利多项式 $ \beta_{n,k,q}^*(k) $。
• 通过差值 $ \frac{\beta_{n,k,q}^*(k) - \beta_{n,k,q}^*}{n} $ 建立 $ S_{m,n}(q) $ 的一般公式，将其与 q-伯努利数联系起来。
• 对生成函数应用 Mellin 变换，定义 $ q $-zeta 函数 $ \zeta_{k,q}^*(s) $ 与 $ \zeta_{k,q}^*(s;k) $，其在 $ \text{Re}(s) > 2 $ 时收敛。
• 利用柯西留数定理，将 $ q $-zeta 函数在负整数处的取值与 q-伯努利数联系起来：$ \zeta_{k,q}^*(1-n) = -\frac{\beta_{n,k,q}^*}{n} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建 Barnes 伯努利数与次数为 2 的多项式的 q-类比，以解决 Schlosser 关于 q-和的幂的开放问题？
• RQ2 是否存在 q-和 $ S_{m,n}(q) = \sum_{j=0}^{k-1} [j]_{q^2}[j]_q^{m-1} q^{(n+1)(k-j)/2} $ 的一般闭式公式？
• RQ3 如何通过 q-生成函数的 Mellin 变换定义 q-ζ 函数，其与 q-伯努利数的关系是什么？
• RQ4 当 $ q \to 1 $ 时，q-生成函数的极限是什么，其与经典 Barnes 双 zeta 函数的关系如何？

主要发现

• 本文通过公式 $ \beta_{n,k,q}^* = \left(\frac{1}{1-q}\right)^{n-1} \sum_{m=0}^{n} \binom{n}{m} \frac{(-1)^m m q^{\frac{(n-1)(k-1)}{2} + k + m - 2}}{(1 - q^{m - \frac{n-1}{2} - 2})(1 - q^{m - \frac{n-1}{2}})} $ 构造了 Barnes 伯努利数的 q-类比 $ \beta_{n,k,q}^* $。
• q-伯努利多项式 $ \beta_{n,k,q}^*(k) $ 的显式表达式为 $ \frac{1}{[2]_q(1-q)^{n-2}} \sum_{m=0}^{n} \binom{n}{m} (-1)^m \left( \frac{m q^{k(m-1)}}{1 - q^{m - \frac{n-1}{2} - 2}} - \frac{m q^{k(m+1)}}{1 - q^{m - \frac{n-1}{2}}} \right) $。
• 推导出 q-和 $ S_{n,k}(q) $ 的一般公式为 $ S_{n,k}(q) = \frac{\beta_{n,k,q}^*(k) - \beta_{n,k,q}^*}{n} $，提供了伯努利求和公式的 q-类比。
• q-ζ 函数 $ \zeta_{k,q}^*(s) $ 通过 Mellin 变换定义为 $ \sum_{n=0}^\infty \frac{[n]_{q^2} q^{\frac{(k-n)(2-s)}{2}}}{[n]_q^s} $，在 $ \text{Re}(s) > 2 $ 时收敛。
• q-ζ 函数在负整数处的取值与 q-伯努利数相关：$ \zeta_{k,q}^*(1-n) = -\frac{\beta_{n,k,q}^*}{n} $。
• 当 $ q \to 1 $ 时，生成函数 $ F_{k,q}^*(t) $ 收敛于 $ -F_2(t; -1; -1, -1) $，从而恢复经典 Barnes 双 zeta 函数。