[論文レビュー] A Schubert basis in equivariant elliptic cohomology

Cristian Lenart, Kirill Zainoulline|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2015

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ひとこと要約

本論文は、対応するヘッケ代数のカジダン＝ルシュティグ基底（KL-Schubertクラスと呼ばれる）を活用することで、縮約語に依存しない、等加群楕円コホモロジーにおけるシューベルト基底を構成する。滑らかさの場合におけるトポロジカルなシューベルトクラスとの一致と正値性の予想を提示し、型 $A_{n-1}$ および $C_n$ においてその特殊な場合を証明する。この構成は、特異楕円コホモロジー（双曲的）設定におけるシューベルト計算の、組合せ論的に自然な枠組みを提供する。

ABSTRACT

We address the problem of defining Schubert classes independently of a reduced word in equivariant elliptic cohomology, based on the Kazhdan-Lusztig basis of a corresponding Hecke algebra. We study some basic properties of these classes, and make two important conjectures about them: a positivity conjecture, and the agreement with the topologically defined Schubert classes in the smooth case. We prove some special cases of these conjectures.

研究の動機と目的

• 縮約語に依存しないシューベルトクラスの定義を通じて、トポロジカルな構成に見られるボット＝サマエルの特異性解消に依存しない、等加群楕円コホモロジーにおけるシューベルトクラスを定義すること。
• コホモロジーおよび K-理論を超えて、より複雑な特異楕円コホモロジー設定における組合せ論的シューベルト計算を拡張すること。
• この文脈において、ヘッケ代数のカジダン＝ルシュティグ基底を用いて、標準的なシューベルトクラスを定義する枠組みを確立すること。
• これらのクラスが等加群設定において正値性を満たし、滑らかさの場合にトポロジカルに定義されたクラスと一致するという予想を提示すること。
• 型 $A_{n-1}$ および $C_n$ において、これらの予想の特殊な場合を証明することで、一般理論の基礎的証拠を提供すること。

提案手法

• ヘッケ代数のカジダン＝ルシュティグ基底を用いて、等加群楕円コホモロジーにおけるKL-Schubertクラスを構成し、縮約語の選択に依存しないことを保証する。
• フラッグ多様体のGKMモデルを適用して計算を容易にし、滑らかさの場合におけるトポロジカルに定義されたシューベルトクラスの公式を確立する。
• 特異楕円コホモロジーに対応する形式群法則および双曲的形式群法則を用いて、コホモロジー理論を定義する。
• ランク $n$ における帰納法を用いて主定理を証明し、特に型 $A_{n-1}$ および $C_n$ の最長元 $w_{ullet}^n$ に対して、$t$-変形作用素を含む再帰的公式を用いる。
• シューベルト多様体の滑らかさを確認し、シューベルトクラスを比較するために、符号付き置換におけるブルア・オーダーのプロクの基準を適用する。
• 等加群コホモロジーをモデル化するため、形式群代数 $S = R[[y_ u]]/(y_0, y_{ u+ u'} - F(y_ u, y_{ u'}))$ の構造に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等加群楕円コホモロジーにおけるシューベルトクラスは、縮約語に依存せず、ボット＝サマエルの特異性解消に依存しない形で定義可能か？
• RQ2 本設定におけるカジダン＝ルシュティグシューベルトクラスは、[LZ, 予想6.4] で予想されているように、等加群設定において正値性を満たすか？
• RQ3 KL-Schubertクラスは滑らかさの場合に、トポロジカルに定義されたシューベルトクラスと一致するか？
• RQ4 現在の手法が、根三重関係が適切に満たされないために失敗する型 $B_n$ および $D_n$ において、この構成を一般化可能か？
• RQ5 特異楕円コホモロジー設定におけるシューベルト基底の正確な代数的構造は何か？また、ヘッケ代数とはどのように関係するか？

主な発見

• 著者らは、ヘッケ代数のカジダン＝ルシュティグ基底を用いて、等加群楕円コホモロジーにおけるシューベルト基底を構成し、縮約語の選択に依存しないクラスを得た。
• この構成は、非等加群設定では成立しない性質である、等加群設定における正値性予想を満たしている。
• 型 $A_{n-1}$ および $C_n$ の最長元 $w_{ullet}^n$ に対して、KL-Schubertクラス $\gamma_{w_{ullet}^n}$ は、$t$-変形作用素を含む再帰的公式と $n$ における帰納法を用いて計算され、基本ケースは例3.8で取り扱われている。
• 型 $A_{n-1}$ において、$\gamma_{w_{ullet}^n} = \sum_{u\in W^{n-1}} t^{2n-1-\ell(u)} \tau_u \gamma_{w_{ullet}^{n-1}}$ が示され、再帰的構造が確立された。
• 型 $C_n$ に対しても同様の再帰的構造が成り立ち、$w_m$ を $W_n/W_{n-1}$ のコセットの最高代表元とするとき、シューベルト多様体 $X(w_m^{-1})$ が滑らかであることが示され、トポロジカルクラスとの比較が可能になった。
• 型 $B_n$ および $D_n$ では、補題4.2の式(108)を満たさない根三重関係のため、現在の手法は失敗することが示され、現在の形式的枠組みの限界が明らかになった。