[论文解读] Adequate moduli spaces and geometrically reductive group schemes

Jarod Alper|arXiv (Cornell University)|May 13, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 9

一句话总结

本文引入了适当的模空间（adequate moduli spaces）的概念，以将几何不变量理论（GIT）推广至正特征和混合特征，扩展了良好模空间理论。证明了在任意基上，几何约化群概形（尤其是半单群概形）满足关键的有限性与下降性质，从而实现了在特征p下对射影模空间的内在构造。

ABSTRACT

We develop the theory of adequate moduli spaces in characteristic $p$ (and mixed characteristic) characterizing quotients by geometrically reductive group schemes.

研究动机与目标

• 开发适当的模空间理论，将良好模空间理论推广至正特征和混合特征。
• 建立适当的模空间的基础性质，包括有限性与唯一性，适用于具有半单稳定子的代数堆栈。
• 将Seshadri与Waterhouse关于几何约化群的结果推广至任意基。
• 为Dedekind环与离散赋值环上的群概形提供几何约化性的内在判别准则。
• 通过适当的模空间理论，实现在正特征下射影模空间的内在构造。

提出的方法

• 通过两个公理定义适当的模空间：(1) 经过有限次幂后，截面可提升；(2) 从堆栈到模空间的全局截面同构。
• 证明在正特征下，对于半单群作用，商堆栈 $[X^{ss}/G] \to X^{ss}//G$ 是适当的模空间。
• 利用可解性性质与DVR上 simply connected 半单群的表示理论，验证几何约化性。
• 应用几何约化性与对偶模的对称幂中存在不变截面之间的等价性。
• 利用中性分支 $G^\circ$ 与商 $G/G^\circ$ 的结构，将问题约化至已知情形。
• 应用Serre的仿射性判别准则，证明若主齐性空间是仿射的，则其商也是仿射的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过比GIT更一般的概念，将良好模空间理论扩展至正特征和混合特征？
• RQ2 在Dedekind环或DVR上，何种条件可保证群概形是几何约化的？
• RQ3 模空间的适当性与作用在其上的群的几何约化性之间有何关系？
• RQ4 在何种条件下，几何约化群概形作用下的主齐性空间的商是仿射的？
• RQ5 能否通过适当的模空间理论，在正特征下实现射影模空间的内在构造？

主要发现

• 对于在具有线性化结构的射影概形上作用的半单群 $G$，映射 $[X^{ss}/G] \to X^{ss}//G$ 是适当的模空间。
• 适当的模空间满足类似于GIT商的有限性与唯一性性质，即使在正特征下亦然。
• 在Dedekind整环上，几何约化群概形恰好是其中性分支为半单且其分支群为有限的群概形。
• 对于光滑仿射群概形 $G \to S$，当且仅当 $G^\circ \to S$ 的纤维为半单且 $G/G^\circ \to S$ 为有限时，$G$ 是几何约化的。
• 若 $X \to Y$ 是一个主 $G$-丛，且 $X$ 在 $S$ 上仿射，则当 $G \to S$ 是几何约化时，$Y$ 在 $S$ 上亦为仿射。
• 适当的模空间理论为在正特征下内在构造射影模空间提供了框架。