[论文解读] Affine Grassmannians and the geometric Satake in mixed characteristic

Xinwen Zhu|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 36被引用 13

一句话总结

该论文通过引入使用完美概形和Witt向量构造的新框架，建立了混合特征下仿射格拉斯曼ian的表示性，并证明了几何萨特凯等价性。它通过证明混合特征下格拉斯曼ian模空间可表示为完美代数空间的极限，解决了几何表示理论中长期存在的问题，使得在此背景下能够发展ℓ进上同调与 perverse 套层理论，其应用涵盖拉波波特-津克空间与仿射狄利克雷-卢斯蒂格簇。

ABSTRACT

We endow the set of lattices in Q_p^n with a reasonable algebro-geometric structure. As a result, we prove the representability of affine Grassmannians and establish the geometric Satake correspondence in mixed characteristic. We also give an application of our theory to the study of Rapoport-Zink spaces.

研究动机与目标

• 为Qp^n中的格拉斯曼ian集合构造一个良好的代数几何结构，该结构在混合特征下此前缺乏合理的模解释。
• 通过限制到完美环并利用代数空间的完美化，解决混合特征下GLn仿射格拉斯曼ian的表示性问题。
• 在混合特征下建立几何萨特凯等价性，将萨特凯范畴与朗兰兹对偶群的表示联系起来。
• 将新框架应用于研究仿射狄利克雷-卢斯蒂格簇的维数及其与拉波波特-津克空间的关系。
• 为混合特征下的仿射格拉斯曼ian建立ℓ进上同调与 perverse 套层理论的基础。

提出的方法

• 将完美k-代数R上格拉斯曼ian的模问题定义为W(R)[1/p]^n中具有满秩的有限投射W(R)-子模。
• 利用完美概形由其在完美环上的取值唯一确定，且 étale 上同调在完美化下不变的性质。
• 通过在行列式被p^N整除的矩阵模空间上取行列式线丛的商，表示子函子Gr(N)。
• 将仿射格拉斯曼ian构造为完美代数空间的直接极限，每个均为k上正规代数空间的完美化。
• 利用完美概形理论与完美代数空间上的ℓ进层，定义上同调不变量。
• 将构造应用于GL2，并通过显式模型验证奇点的解析，证明Gr2为概形，其具有由Gr2与一个完美化仿射平面构成的开覆盖，且显式构造了映射fGr2 → Gr2。

实验结果

研究问题

• RQ1 Qp^n中的格拉斯曼ian集合能否在混合特征下赋予合理的代数几何时结构？
• RQ2 GLn在混合特征下的仿射格拉斯曼ian能否表示为完美代数空间的直接极限？
• RQ3 几何萨特凯等价性是否在混合特征下成立，将萨特凯范畴与朗兰兹对偶群的表示联系起来？
• RQ4 混合特征下仿射狄利克雷-卢斯蒂格簇的维数是多少，其与拉波波特-津克空间有何关系？
• RQ5 仿射格拉斯曼ian的奇点能否通过完美代数空间模型得到解析？

主要发现

• 在混合特征下，仿射格拉斯曼ian可表示为完美代数空间的直接极限，每个均为剩余域k上正规代数空间的完美化。
• 在混合特征下，几何萨特凯等价性成立，萨特凯范畴与朗兰兹对偶群表示范畴相等。
• 通过仿射格拉斯曼ian及其解析的几何，计算出混合特征下仿射狄利克雷-卢斯蒂格簇的维数。
• 对于GL2与N=2，证明了仿射格拉斯曼ian Gr2为概形，其具有由Gr2与一个完美化仿射平面构成的开覆盖，且映射fGr2 → Gr2被显式构造。
• 证明了解析上的行列式线丛为半正定，支持了混合特征下猜想的几何萨特凯等价性。
• 该构造通过仿射格拉斯曼ian的几何及其奇点，为拉波波特-津克空间提供了模型。