[論文レビュー] Asymptotic entanglement in the discrete-time quantum walk

G. Abal, R. Donangelo+1 more|ArXiv.org|Sep 20, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、エンタングルメントのヴォン・ノイマンエントロピーを用いて、離散時間量子ウォークにおける漸近的エンタングルメントを調査する。局所的または非局所的初期状態を持つ1量子ウォークに対して、長時間限界におけるエンタングルメントを解析的に導出し、非分離コイン操作を用いる2量子ウォーク系では、時間に比例して対数的に増加する双粒子エンタングルメントが生じることを示す。グローバーのコインやRPコイン操作では、その増加率は c ≈ 0.89 に達する。

ABSTRACT

The coin-position entanglement generated by the evolution operator of a discrete--time quantum walk converges, in the long time limit, to a well defined value which depends on the initial state. We also discuss the asymptotic bi-partite entanglement generated by several non-separable coin operations for two coherent quantum walkers, for which the entropy of entanglement increases logarithmically.

研究の動機と目的

• 1量子の離散時間量子ウォークにおける、コイン自由度と位置自由度の間の長時間エンタングルメントを定量化すること。
• 初期状態の準備方法がウォークにおける漸近的エンタングルメントレベルに与える影響を特定すること。
• 非分離コイン操作を用いる2量子ウォーク系における粒子間エンタングルメント生成を調査すること。
• 量子ゲームからの非局所的コイン操作を用いた多量子ウォーク系におけるエンタングルメントの時間発展を特徴付けること。
• 多量子ウォークの状況における漸近的エンタングルメントの解析的表現を確立し、その時間依存性のスケーリングを定量化すること。

提案手法

• エンタングルメントの測定に、縮約密度行列のヴォン・ノイマンエントロピー（エンタングルメントのエントロピー）を用いる。
• ウォークの時間発展に対してフーリエ解析を適用し、コイン-位置エンタングルメントの漸近的表現を導出する。
• 運動量基底状態 |k⟩ を用いた双対空間表現を用い、発展演算子を対角化し、時間依存振幅を解く。
• 局所的および非局所的初期状態（|±1⟩ 位置固有状態の重ね合わせを含む）におけるエンタングルメントエントロピーの漸近的挙動を分析する。
• グローバーのコインやランダム・パヴロフ（RP）コインなどの非分離コイン操作を用いる2量子ウォークに、このフレームワークを拡張する。
• log₂(t) と S_E の間の線形回帰を実行し、対数的エンタングルメント増加 S_E ∼ log₂(t^c) のスケーリング指数 c を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的初期状態を持つ1量子ウォークのハダマードウォークにおいて、コインと位置の間の漸近的エンタングルメント値は何か？
• RQ2 非局所的初期条件（|±1⟩ 位置固有状態をカバーする）を用いることで、任意の漸近的エンタングルメントレベルを達成できるか？
• RQ3 非分離コイン操作を適用する2量子ウォーク系において、2粒子間エンタングルメントは時間とともにどのように変化するか？
• RQ4 グローバーのコインやRPコインなどの非分離コインを用いる多量子ウォーク系におけるエンタングルメント増加の関数的形は何か？
• RQ5 2量子ウォーク系において、エンタングルメントスケーリング指数 c は初期コイン状態およびコイン操作の選択に依存するか？

主な発見

• ハダマードウォークで局所的初期状態を持つ1量子ウォークでは、漸近的エンタングルメントは初期コイン状態に応じて約 0.736 から完全エンタングルメントの間で収束する。
• |±1⟩ 位置固有状態をカバーする非局所的初期条件を用いることで、漸近的エンタングルメントは 0 から 1 の任意の値に調整可能である。
• 非分離コイン操作を用いる2量子ウォーク系では、双粒子エンタングルメントが時間に比例して対数的に増加し、S_E ∼ log₂(t^c) の形をとる。
• 初期状態 |χ₂⟩ を用いるグローバーのコインでは、エンタングルメントスケーリング指数は c ≈ 0.89 であり、速やかな増加を示す。
• RPコイン操作では、エンタングルメントは c ≈ 0.87 で増加し、グローバーのコインの速やかな増加ケースと類似している。
• 局所的初期状態 |χ₁⟩ を用いるグローバーのコインでは、エンタングルメントはよりゆっくりと増加し、c ≈ 0.52 である。これはエンタングルメント蓄積の遅い速度を示している。