[論文レビュー] Asymptotic Hecke algebras and involutions

G. Lusztig|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、カジワラ＝ルシュツィジ基底と区別の入れ替え元を用いて定義される新しい作用を通じて、アス比的ヘッケ代数上の、ワイル群またはアフィンワイル群の入れ替え元で張られるモジュールを構成する。主な貢献は、[LV]で定義されたこのモジュールが、単一の元で生成されるヘッケ代数のイデアルとしての予想的実現であり、表現論と等変ベクトル束を結びつけるもので、コットヴィッツの結果を拡張する。

ABSTRACT

In a previous paper the author and D. Vogan defined and studied a Hecke algebra module structure on a vector space spanned by the involutions in a Weyl group. In this paper this study is continued by relating it to the asymptotic Hecke algebra.

研究の動機と目的

• ワイル群またはアフィンワイル群の入れ替え元で張られるアス比的ヘッケ代数上のモジュールを定義すること。
• このモジュールが有限集合への群作用における等変ベクトル束と関係することを示し、古典的状況におけるコットヴィッツの結果の概念的解釈を提供すること。
• [LV]のモジュールを、単一の元で生成されるイデアルによる商としての予想的実現を提案すること。
• カジワラ＝ルシュツィジ基底とセル理論を通じて、アス比的ヘッケ代数と入れ替え元の構造との間の関係を確立すること。
• ヘッケ代数の特定の元の特殊化が、群代数の整数係数線形結合に写像されることを示唆し、群からその入れ替え元への射影写像を示唆すること。

提案手法

• カジワラ＝ルシュツィジ基底要素 $ c_w $ を用いてアス比的ヘッケ代数を定義し、$ c_x c_y = \sum_z h_{x,y,z} c_z $ から得られる構造定数 $ h_{x,y,z} $ を用いる。
• 自由な $ \mathcal{A} $-モジュール $ M $ を、$ \mathbb{I}_* $（$ * $-入れ替え元の集合）を添え字とする基底 $ (a_w)_{w \in \mathbb{I}_*} $ を持つように定義する。
• $ T_s $ の作用を明示的な公式により定義し、$ s^* $ との相対的長さと可換性に依存する $ \mathfrak{H} $-モジュール構造を $ M $ に与える。
• 基底 $ (\tau_w)_{w \in \mathbb{I}_*} $ を持つアス比的モジュール $ \mathcal{M} $ を構成し、$ J $（区別の入れ替え元の環）の作用を、展開 $ c_x A_w = \sum_{w'} f_{x,w,w'} A_{w'} $ から抽出した係数 $ \beta_{x,w,w'} $ で定義する。
• $ v $-次数 $ 2a(w') $ における $ f_{x,w,w'} $ の先行項を用いて、構造定数 $ \beta_{x,w,w'} \in \mathbb{Z} $ を定義し、有限性と整数性を保証する。
• 特殊化 $ X_w|_{u^{-1}=0} = \sum_{x \in \pi^{-1}(w)} T_x $ を予想する。ここで $ \pi: W \to \mathbb{I}_* $ は、長さと可換性の規則に従って帰納的に定義される射影写像である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 【LV】で定義された入れ替え元上の $ \mathfrak{H} $-モジュール構造は、アス比的ヘッケ代数の枠組み内でどのように実現可能か？
• RQ2 アス比的ヘッケ代数とワイル群の $ * $-入れ替え元で張られるモジュールとの間の明確な関係は何か？
• RQ3 アス比的ヘッケ代数上の入れ替え元で張られるモジュールは、単一の元で生成されるイデアルによる商として実現可能か？
• RQ4 ヘッケ代数の特定の元の $ u^{-1} = 0 $ における特殊化は、明確に定義された射影 $ \pi: W \to \mathbb{I}_* $ によって添え字づけられた群代数の整数係数線形結合をもたらすか？
• RQ5 $ \pi^{-1}(w) $ の各入れ替え元 $ w \in \mathbb{I}_* $ に対して、$ l(w) = l(x) + l(x^{-1}w) $ が $ x \in \pi^{-1}(w) $ に対して成り立つ一様な帰納的規則は存在するか？

主な発見

• アス比的ヘッケ代数による $ M $ に張られるモジュール上の $ \mathfrak{H} $-モジュール構造は適切に定義されており、$ \underline{\mathfrak{H}} $-モジュール構造へ拡張可能である。
• $ J $-モジュール $ \mathcal{M} $ における構造定数 $ \beta_{x,w,w'} $ は整数であり、$ \beta_{x,w,w'} \neq 0 $ となるのは $ x \sim w \sim w' $ の場合に限る。これにより、両側セル理論と整合性が保証される。
• $ v $-次数 $ 2a(w') $ における $ f_{x,w,w'} $ の先行項は $ \beta_{x,w,w'} v^{2a(w')} $ であり、$ \beta_{x,w,w'} \in \mathbb{Z} $ である。これにより、明確な漸近展開が得られる。
• 無限大ダイヘドラル群（$ *=1 $）の場合、$ X_w $ は形式的な $ \mathbb{Z}[u^{-1}] $-線形結合として $ T_x $ の和で表され、$ u^{-1} = 0 $ での特殊化は $ \sum_{x \in \pi^{-1}(w)} T_x $ を与える。ここで $ \pi $ は帰納的に定義される。
• テストされたすべてのケース（$ A_1, A_2, A_3 $ および無限大ダイヘドラル群）において、射影 $ \pi $ は $ x \in \pi^{-1}(w) $ に対して $ l(w) = l(x) + l(x^{-1}w) $ を満たす。これは一般の構造的性質を示唆する。
• 予想的写像 $ \pi $ は帰納的に定義される：$ x = s_i x' $ で $ l(x) > l(x') $ ならば、$ s_i \pi(x') = \pi(x') s_i > \pi(x') $ ならば $ \pi(x) = s_i \pi(x') $、$ s_i \pi(x') \neq \pi(x') s_i > \pi(x') $ ならば $ \pi(x) = s_i \pi(x') s_i $、$ \pi(x') s_i < \pi(x') $ ならば $ \pi(x) = \pi(x') $ である。