[論文レビュー] $\beta$-deformed matrix models and the 2d/4d correspondence

Kazunobu Maruyoshi|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 100被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、対数型ポテンシャルを伴う $β$-変種マトリックス模型を通じて、4次元 $υ=2$ ゲージ理論と2次元 conformal field theories (CFT) の間の正確な対応関係を確立する。大 $N$ 限界が Seiberg-Witten 前ポテンシャルを再現すること、Nekrasov-Shatashvili 限界が量子可積分系に接続されること、有限 $N$ での統合が Virasoro conformal block および Nekrasov 分割関数と正確に一致することを示し、AGT 対応に関する強い証拠を提供する。

ABSTRACT

This is the fourth article in the collection of reviews "Exact results on N=2 supersymmetric gauge theories", ed. J.Teschner. It describes a very useful mathematical representation of the results of the localisation computations of instanton partition functions as integrals having a form familiar from the study of matrix models. Techniques from the study of matrix models can be employed to extract important information on the instanton partition functions in various limits and special cases.

研究の動機と目的

• 対数型ポテンシャルを伴う $β$-変種マトリックス模型を用いて、2次元／4次元対応の正確な実現を確立すること。
• そのマトリックス模型の大 $N$ 限界が、対応する4次元 $υ=2$ ゲージ理論の Seiberg-Witten 前ポテンシャルを再現することを示すこと。
• マトリックス模型の Nekrasov-Shatashvili 限界が、量子可積分系の構造を捉えることを示すこと。
• 有限 $N$ でのマトリックス模型の分配関数が、Virasoro conformal block および Nekrasov 分割関数の両方と正確に一致することを検証すること。

提案手法

• 2次元 CFT の conformal block の Dotsenko-Fateev 積分表現から、対数型ポテンシャルを伴う $β$-変種マトリックス模型を導出する。
• $N$ 変数を $N_i$ 個のグループに分割する正確な統合路を用い、それらが分配係数および内部モーメンタムに対応することを明示する。
• 大 $N$ 限界におけるループ方程式を適用し、スペクトル曲線を4次元ゲージ理論の Seiberg-Witten 曲線と同一視する。
• Nekrasov-Shatashvili 限界（$\epsilon_2 \to 0$）を解析し、量子可積分系との関係を明らかにする。
• Selberg 型積分公式を用いて、有限 $N$ での明示的統合を実行し、分配関数を計算する。
• 得られた分配関数を、Virasoro conformal block の展開および Nekrasov 分割関数と直接比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数型ポテンシャルを伴う $β$-変種マトリックス模型は、適切な統合路の選択のもとで、Dotsenko-Fateev 表現を用いて2次元 conformal block を完全に再現できるか？
• RQ2 マトリックス模型の大 $N$ 限界が、対応する4次元 $υ=2$ ゲージ理論の Seiberg-Witten 前ポテンシャルを生成するか？
• RQ3 マトリックス模型の Nekrasov-Shatashvili 限界は、4次元ゲージ理論における量子可積分系構造とどのように関係するか？
• RQ4 有限 $N$ でのマトリックス模型の分配関数は明示的に計算可能であり、Virasoro conformal block および Nekrasov 分割関数の両方と一致するか？
• RQ5 $β$-変種化は、退化場を超えて2次元 CFT と4次元ゲージ理論の間の対応を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• 対数型ポテンシャルを伴う $β$-変種マトリックス模型の大 $N$ 限界は、4次元 $υ=2$ ゲージ理論の Seiberg-Witten 前ポテンシャルを再現し、一次のオーダーで対応関係を確認する。
• 大 $N$ 限界におけるマトリックス模型のスペクトル曲線は、[16, 10] で導出された4次元ゲージ理論の Seiberg-Witten 曲線と一致する。
• Nekrasov-Shatashvili 限界（$\epsilon_2 \to 0$）におけるマトリックス模型は、量子可積分系の構造を捉えており、$β$-変種化がこの対応関係に不可欠であることが判明した。
• Selberg 積分公式を用いた有限 $N$ での明示的統合により、マトリックス模型の分配関数が複素構造モジュライの展開と正確に一致することが確認された。
• 同じ有限 $N$ の分配関数は、4次元 $υ=2$ ゲージ理論の Nekrasov 分割関数を正確に再現し、AGT 対応に関する直接的証拠を提供する。
• 本手法は、高 genus のリーマン面およびクオーバー・ゲージ理論へも一般化可能であり、最も単純な場合を超えた対応関係の拡張に成功している。