[论文解读] C-motivic modular forms

Bogdan Gheorghe, Daniel C. Isaksen+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 15

一句话总结

本文通过一种新颖的 $\Gamma_{\star}S^{0}$-模范畴，构建了一个不依赖代数几何基础的、用于细胞型、2-完备化、$$\mathbb{C}$-动机稳定同伦理论的拓扑模型。通过证明其上同调实现 $A/\!\!\!\!\!\!A(2)$，本文建立了复数域上动机模形式谱 $\mathit{mmf}$ 的存在性，并证明了 $\Gamma_{\star}S^{0}$-模的同伦范畴与 2-完备化细胞型 $\mathbb{C}$-动机稳定同伦范畴之间的等价性。

ABSTRACT

We construct a topological model for cellular, 2-complete, stable C-motivic homotopy theory that uses no algebro-geometric foundations. We compute the Steenrod algebra in this context, and we construct a "motivic modular forms" spectrum over C.

研究动机与目标

• 为细胞型、2-完备化、$\\mathbb{C}$-动机稳定同伦理论构造一个拓扑的、非代数几何基础的模型。
• 证明复数域上动机模形式谱 $\\mathit{mmf}$ 的存在性，其上同调为 $A/\!\!\!\!\!\!A(2)$。
• 计算该拓扑模型中的模范张量代数，并证明其与 $\mathbb{C}$-动机模范张量代数一致。
• 证明 $\Gamma_{\star}S^{0}$-模的同伦范畴与 2-完备化细胞型 $\mathbb{C}$-动机稳定同伦范畴之间存在等价性。

提出的方法

• 将 $\Gamma_{\star}S^{0}$ 定义为由经典谱的无限序列构建的过滤谱范畴，避免使用代数几何构造。
• 利用复 cobordism 谱 $MU$ 作为基础输入，构造 $\Gamma_{\star}S^{0}$ 上的 $\mathbb{E}_{\infty}$-环结构。
• 定义一个 $\mathbb{F}_{2}$-Eilenberg-Mac Lane $\Gamma_{\star}S^{0}$-模 $\Gamma_{\star}H\mathbb{F}_{2}$，其同伦群为 $\mathbb{F}_{2}[\tau]$，与 $\mathbb{C}$-动机上同调一致。
• 计算 $\Gamma_{\star}H\mathbb{F}_{2}$ 上的共操作，证明该情境下的模范张量代数同构于 $\mathbb{C}$-动机模范张量代数。
• 将 $\Gamma_{\star}\mathit{tmf}$ 定义为 $\Gamma_{\star}S^{0}$-模，并证明其上同调同构于 $A/\!\!\!\!\!\!A(2)$，满足 $\mathit{mmf}$ 所需的性质。
• 证明函子 $Y_{\star} \mapsto Y_{\star} \otimes_{\Gamma_{\star}S^{0}} S^{0,\star}$ 是函子 $X \mapsto \Omega^{0,\star}_{s}(X)$ 的拟逆，从而确立范畴之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖代数几何基础的前提下，为细胞型、2-完备化 $\mathbb{C}$-动机稳定同伦理论构造一个拓扑模型？
• RQ2 是否存在一个复数域上的动机模形式谱 $\mathit{mmf}$，使得其上同调为 $A/\!\!\!\!\!\!A(2)$？
• RQ3 能否仅从该模型中的拓扑数据重建 $\mathbb{C}$-动机模范张量代数？
• RQ4 是否 $\Gamma_{\star}S^{0}$-模的同伦范畴与 2-完备化细胞型 $\mathbb{C}$-动机稳定同伦范畴等价？

主要发现

• $\Gamma_{\star}S^{0}$-模的范畴为细胞型、2-完备化 $\mathbb{C}$-动机稳定同伦理论提供了一个完全的拓扑模型，且独立于 Voevodsky 的动机上同调计算。
• $\mathbb{F}_{2}$-Eilenberg-Mac Lane $\Gamma_{\star}S^{0}$-模 $\Gamma_{\star}H\mathbb{F}_{2}$ 的同伦群为 $\mathbb{F}_{2}[\tau]$，与 $\mathbb{C}$ 的动机上同调一致。
• 在 $\Gamma_{\star}S^{0}$-模情境下，模范张量代数同构于 $\mathbb{C}$-动机模范张量代数，确认了计算上的相容性。
• $\Gamma_{\star}S^{0}$-模 $\Gamma_{\star}\mathit{tmf}$ 的上同调同构于 $A/\!\!\!\!\!\!A(2)$，使其成为 $\mathit{mmf}$ 的候选者。
• 函子 $X \mapsto \Omega^{0,\star}_{s}(X)$ 与 $Y_{\star} \mapsto Y_{\star} \otimes_{\Gamma_{\star}S^{0}} S^{0,\star}$ 在 $\mathbf{Sp}_{\mathbb{C}}$ 与 $\operatorname{Mod}_{\Gamma_{\star}S^{0}}$ 之间构成互逆等价，从而证明了主要范畴等价性。