[论文解读] Chern-Mather classes of toric varieties

Ragni Piene|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文建立了一种公式，用于表示一个toric代数簇的Chern–Mather类，其表达式基于其torus轨道以及每个轨道上一般点处的局部Euler障碍。通过Chern–Schwartz–MacPherson类公式与对偶性理论，推导出一个显式表达式，该表达式推广并提供了Matsui与Takeuchi关于toric超曲面的对偶簇次数结果的另一种证明。

ABSTRACT

The purpose of this short note is to prove a formula for the Chern-Mather classes of a toric variety in terms of its orbits and the local Euler obstructions at general points of each orbit (Theorem 2). We use the general definition of the Chern-Schwartz-MacPherson classes (see [7]) and their special expression in case of a toric variety (see [2]). As a corollary, we obtain a formula by Matsui-Takeuchi [8, Corollary 1.6]. Alternatively, one could deduce the formula of Theorem 2 from the Matsui-Takeuchi formula, by using our general result [11, Theoreme 3] for the degree of the polar varieties in terms of the Chern-Mather classes.

研究动机与目标

• 推导出toric代数簇的Chern–Mather类的闭式表达式，其表达基于其torus轨道与局部Euler障碍。
• 为Matsui–Takeuchi关于toric超曲面对偶簇次数的公式提供另一种证明。
• 统一极小化簇理论与toric几何中Chern–Mather类的理论。
• 通过轨道分解，将Chern–Schwartz–MacPherson类理论的应用范围扩展至非正规toric代数簇。

提出的方法

• 使用Nash变换，并通过对偶化层与切空间Grassmannian上的典范丛来定义Chern–Mather类。
• 应用循环与可构造函数之间的同构关系，借助局部Euler障碍，将 $ T^{-1}(\mathbf{1}_X) $ 定义为轨道上的和，其系数包含Euler障碍。
• 利用已知公式 $ c^{\operatorname{MP}}(X) = \sum_{\alpha} [\overline{X}_{\alpha}] $ 表示toric代数簇的Chern–Schwartz–MacPherson类。
• 通过维数的归纳法，将 $ c^M(\overline{X}_\alpha) $ 递归地表示为 $ \overline{X}_\alpha $ 的闭包中轨道的函数。
• 应用[MR1074588]中的极小化类公式，将Chern–Mather类与极小化簇的次数联系起来。
• 将对偶簇的次数 $ \deg X^\vee $ 表达为多面体的面之和，其权重为 $ (-1)^{\operatorname{codim}F_\alpha} (\dim F_\alpha + 1) \cdot \operatorname{Eu}_X(X_\alpha) \cdot \operatorname{Vol}_\mathbb{Z}(F_\alpha) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何基于其轨道分解与局部Euler障碍来表达toric代数簇的Chern–Mather类？
• RQ2 Matsui–Takeuchi关于toric超曲面对偶簇次数的公式能否从Chern–Mather类的一般公式中推导出来？
• RQ3 局部Euler障碍在计算奇异toric代数簇的特征类中起什么作用？
• RQ4 在toric几何中，极小化簇及其次数如何与定义多面体的组合结构相关联？

主要发现

• toric代数簇 $ X $ 的Chern–Mather类由 $ c^M(X) = \sum_{\alpha} \operatorname{Eu}_X(X_\alpha) [\overline{X}_\alpha] $ 给出，其中求和遍历所有torus轨道，且 $ \operatorname{Eu}_X(X_\alpha) $ 为轨道 $ X_\alpha $ 上一般点处的局部Euler障碍。
• 簇 $ X $ 的极小化簇 $ \mu_k $ 的次数由 $ \mu_k = \sum_{i=0}^k (-1)^i \binom{n-i+1}{n-k+1} \sum_{\alpha: \operatorname{codim} X_\alpha = i} \operatorname{Eu}_X(X_\alpha) \cdot \operatorname{Vol}_\mathbb{Z}(F_\alpha) $ 计算得出。
• 对偶簇 $ X^\vee $ 的次数为 $ \deg X^\vee = \sum_{F_\alpha \preceq P} (-1)^{\operatorname{codim} F_\alpha} (\dim F_\alpha + 1) \cdot \operatorname{Eu}_X(X_\alpha) \cdot \operatorname{Vol}_\mathbb{Z}(F_\alpha) $，从而恢复了Matsui–Takeuchi的推论1.6。
• 对于具有一个双直线与两个尖点的三次曲面，其对偶次数计算为 $ \deg X_A^\vee = 3 $，与非金字塔形toric超曲面的自对偶性一致。
• 在一个非一般投影的例子中，$ \deg X_A^\vee = 6 $ 而 $ \deg X_P^\vee = 7 $，表明对偶次数在非一般投影下不被保持。