[论文解读] Classifying all mutually unbiased bases in Rel

Julia L. Evans, Ross Duncan+2 more|ArXiv.org|Sep 24, 2009

Molecular spectroscopy and chirality参考文献 17被引用 12

一句话总结

本文在范畴 Rel 中对所有相互 unbiased 基（MUBs）进行分类，表明在 $ d^2 $ 个元素的集合上，相互互补的经典结构数量恰好对应于阶为 $ d $ 的相互正交拉丁方（MOLS）的数量。对于 $ d = 6 $，本文证明恰好存在 3 个此类结构，与有限维希尔伯特空间中的开放问题相呼应：在维度 6 的量子情形中，目前仅知存在 3 个 MUBs。

ABSTRACT

Finding all the mutually unbiased bases in various dimensions is a problem of fundamental interest in quantum information theory and pure mathematics. The general problem formulated in finite-dimensional Hilbert spaces is open. In the categorical approach to quantum mechanics one can find examples of categories which behave ``like'' the category of finite-dimensional Hilbert spaces in various ways but are subtly different. One such category is the category of sets and relations, $\mathbf{Rel}$. One can formulate the concept of mutually unbiased bases here as well. In this note we classify all the mutually unbiased bases in this category by relating it to a standard question in combinatorics.

研究动机与目标

• 在范畴 Rel 中对所有相互 unbiased 基（MUBs）进行分类，这是一种类似于有限维希尔伯特空间但使用 {0,1} 标量的范畴框架。
• 建立 Rel 中相互互补的经典结构与相互正交拉丁方（MOLS）之间的精确对应关系。
• 解决在 $ d^2 $ 个元素集合上相互 unbiased 基的数量问题，特别是对于 $ d = 6 $ 的情形，此时量子情形仍为开放问题。
• 探索 Rel 中拉丁方的组合结构与 $ \mathbb{C}^d $ 中最大 MUBs 问题之间的结构类比。

提出的方法

• 将 $ \mathbf{Rel} $ 中的经典结构定义为大小为 $ d^2 $ 的集合 $ X $ 的划分，每个块上配备阿贝尔群结构。
• 使用经典结构之间互补性的概念：若两个划分构成一对相互正交的拉丁方，则称其互补。
• 在 $ k $ 个相互互补的经典结构与 $ k-2 $ 个阶为 $ d $ 的相互正交拉丁方（MOLS）之间建立双射。
• 证明在 $ d^2 $ 个元素上存在 $ k $ 个相互互补的划分，当且仅当存在 $ k-2 $ 个阶为 $ d $ 的相互正交拉丁方。
• 利用组合学中的已知结果：阶为 6 时不存在正交拉丁方对，因此相互互补的划分最多为 3 个。
• 通过 MOLS 与 $ \mathbf{Rel} $ 中 MUBs 之间的对偶性，借助组合分类推导出 MUBs 的精确计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在大小为 $ d^2 $ 的集合上，范畴 $ \mathbf{Rel} $ 中存在多少个相互 unbiased 基？
• RQ2 相互 unbiased 基在 $ \mathbf{Rel} $ 中的精确组合结构是什么？
• RQ3 能否通过 $ \mathbf{Rel} $ 中 MUBs 的分类，为 $ \mathbb{C}^6 $ 中最大 MUBs 的开放问题提供启示？
• RQ4 在 $ \mathbf{Rel} $ 中，相互互补的经典结构与相互正交拉丁方之间是否存在结构等价性？
• RQ5 为何在 $ \mathbf{Rel} $ 中 $ d = 6 $ 的情形恰好产生 3 个 MUBs，这与量子情形有何关联？

主要发现

• 在大小为 $ 6^2 = 36 $ 的集合上，$ \mathbf{Rel} $ 中恰好存在 3 个相互 unbiased 基（MUBs），这与阶为 6 的正交拉丁方对不存在的事实相对应。
• 在 $ d^2 $ 个元素上，$ \mathbf{Rel} $ 中相互互补的经典结构数量为 $ k $，当且仅当存在 $ k-2 $ 个阶为 $ d $ 的相互正交拉丁方。
• 对于素数幂 $ d $，$ \mathbf{Rel} $ 中存在 $ d+1 $ 个相互互补的经典结构，与 $ \mathbb{C}^{d^2} $ 中 MUBs 的最大数量一致。
• 在 $ \mathbf{Rel} $ 中 MUBs 的分类完全由拉丁方的组合性质决定，与划分块的阿贝尔群结构无关。
• 对于 $ d = 6 $ 的结果，为量子信息中的开放问题提供了范畴类比：在维度 6 时仅知存在 3 个 MUBs，且尚未有证明表明其为最大值。
• MUBs 在 $ \mathbf{Rel} $ 中与 MOLS 之间的对应关系意味着：在 $ d^2 $ 个元素上存在 $ k $ 个 MUBs 意味着在 $ \mathbb{C}^{d^2} $ 中也存在 $ k $ 个 MUBs，但反之不成立。